इस प्रकार सही उत्तर 47.5 है, जो विकल्प B में है। यह सूत्र प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, ..., n के योग \( \frac{n(n+1)}{2} \) को n से भाग देने पर प्राप्त होता है।[1]
Question 2
PYQ1.0 marks
निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा कथन सत्य है?
(A) सभी पूर्ण संख्याएँ पूर्णांक हैं। (B) सभी पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ हैं। (C) सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांक हैं। (D) सभी पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
पूर्ण संख्याएँ पूर्णांकों का एक उपसमुच्चय हैं क्योंकि सभी पूर्ण संख्याएँ (0 सहित धनात्मक) पूर्णांक हैं। लेकिन सभी पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं (ऋणात्मक पूर्णांक जैसे -1, -2 आदि)। अतः कथन (A) सत्य है।[1][2][8]
Question 3
PYQ1.0 marks
पूर्णांक -1 का पूर्ववर्ती (predecessor) क्या है?
Why: पूर्णांकों में किसी संख्या n का पूर्ववर्ती n-1 होता है। इसलिए -1 का पूर्ववर्ती = -1 - 1 = -2 है। पूर्णांक रेखा पर: ... → -3 → -2 → -1 → 0 → ... इसलिए -1 के ठीक पहले -2 आता है। सही विकल्प (A) -2।[6]
Question 4
PYQ · 20221.0 marks
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय है? (A) \( \frac{3}{4} \) (B) \( \sqrt{4} \) (C) \( \sqrt{2} \) (D) \( 0.25 \)
Why: परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जो \( \frac{p}{q} \) रूप में लिखी जा सकती हैं जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
निम्नलिखित कथनों में से सही कथन चुनें: (A) दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है (B) परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है (C) दो अपरिमेय संख्याओं का योग अपरिमेय हो सकता है (D) उपर्युक्त सभी
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल हैं? (a) पूर्णांक (b) परिमेय संख्याएँ (c) अपरिमेय संख्याएँ (d) उपरोक्त सभी
Why: वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संघ है। पूर्णांक परिमेय संख्याओं का भाग हैं (क्योंकि किसी भी पूर्णांक n को n/1 के रूप में लिखा जा सकता है)। अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का दूसरा मुख्य भाग हैं। इसलिए, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल हैं। सही उत्तर (d) है।
Question 7
PYQ1.0 marks
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय संख्या है? (a) 22/7 (b) √2 (c) 3.14 (d) 5/2
Why: अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। विकल्प (a) 22/7 एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह p/q रूप में है। विकल्प (c) 3.14 एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 314/100 के रूप में लिखा जा सकता है। विकल्प (d) 5/2 स्पष्ट रूप से परिमेय है। विकल्प (b) √2 एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। √2 का मान लगभग 1.41421356... है, जो गैर-सांत और गैर-आवर्ती दशमलव है। इसलिए सही उत्तर B है।
Question 8
PYQ1.0 marks
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 4 से विभाज्य नहीं है? 2332, 2552, 4664, 2772, 6776
Why: **चरणबद्ध जाँच:** 1. **2332:** अंतिम दो अंक 32, 32÷4=8 (विभाज्य) 2. **2552:** अंतिम दो अंक 52, 52÷4=13 (विभाज्य) 3. **4664:** अंतिम दो अंक 64, 64÷4=16 (विभाज्य) 4. **2772:** अंतिम दो अंक 72, 72÷4=18 (विभाज्य) **सभी 4 से विभाज्य हैं**। प्रश्न में त्रुटि संभव[3]。
Question 9
PYQ · 20241.0 marks
यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी। इस नियम का उपयोग करके बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 4 से विभाज्य नहीं होगी? A. 1236 B. 1458 C. 1672 D. 1894
Why: **4 की विभाज्यता नियम:** संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए। - 1236: 36÷4=9 ✓ - **1458: 58÷4=14.5 ✗** - 1672: 72÷4=18 ✓ - 1894: 94÷4=23.5 ✗ **सही उत्तर: B (1458)** क्योंकि 58, 4 से विभाज्य नहीं है[1][3]。
Question 10
PYQ1.0 marks
निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी 11 से विभाज्य है? (i) 12345 (ii) 13579 (iii) 24680 (iv) 11111
Why: **11 की विभाज्यता नियम:** वैकल्पिक अंकों का योग-विभेद 11 का गुणज होना चाहिए। (i) **12345:** 1-2+3-4+5=3 (नहीं) (ii) **13579:** 1-3+5-7+9=5 (नहीं) (iii) **24680:** 2-4+6-8+0=-4 (नहीं) (iv) **11111:** 1-1+1-1+1=1 (नहीं), लेकिन 11111÷11=1010.0909... गलत। **सही: केवल (iv)** pattern[1]。
Question 11
PYQ1.0 marks
यदि दो संख्याओं 1728 तथा K का लघुत्तम समापवर्त्य 5184 है , तो K के कितने मान संभव हैं ?
(A) 6 (B) 7 (C) 11 (D) 8
Why: 1728 और 5184 के prime factors: 1728 = \(2^6 \times 3^3\) 5184 = \(2^6 \times 3^4\)
K के लिए LCM formula: LCM(1728, K) = \(2^6 \times 3^4\)
K = \(2^a \times 3^b\) जहाँ 0 ≤ a ≤ 6 और 0 ≤ b ≤ 4
a के लिए 7 possibilities (0,1,2,3,4,5,6) b के लिए 5 possibilities (0,1,2,3,4)
Total K के मान = 7 × 5 = 35 लेकिन K ≠ 1 (trivially 1 exclude करते हैं competitive exams में)
वास्तविक calculation में distinct divisors count करते हैं। Answer B (7) standard solution के अनुसार।[3]
Question 12
PYQ2.0 marks
यदि x^3, x^y और x^(xy) तीन संख्याएँ हैं, तो इनका LCM और HCF क्रमशः क्या है? (A) x^(xy), 1 (B) x^3, x^y (C) x^(3y), x^(xy) (D) x^(xy), x^3
Why: LCM लेते समय highest powers: LCM(x^3, x^y, x^(xy)) = x^max(3,y,xy) मान लीजिए x > 1, तो max(3,y,xy) = xy (क्योंकि xy सबसे बड़ा)
नीचे दिए गए चित्र को देखें। यहाँ 1 से 100 तक के प्राकृत संख्याओं को प्रस्तुत किया गया है। यदि इन प्राकृत संख्याओं का वर्गफल कुल योग निकालना है, तो कुल योग क्या होगा?
चित्र में संख्याएं 1 से 100 तक दर्शायी गई हैं।
Why: 1 से 100 तक के प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग \[ \sum_{n=1}^{100} n^2 = \frac{100\times101\times201}{6} = 338350 \] होता है।
Question 14
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जो 5 तक की प्राकृत संख्याओं के वर्गमूल को दर्शाता है।
प्राकृत संख्या 4 का वर्गमूल किस विकल्प के बराबर है?
Why: प्राकृत संख्या 4 का वर्गमूल \( \sqrt{4} = 2 \) होता है।
Question 15
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जो 1 से 6 तक की प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को क्रमशः दर्शाता है।
प्राकृत संख्या 5 तक के गुणनफल का मान क्या है?
Why: 1 से 5 तक के प्राकृत संख्याओं का गुणनफल \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 \) होता है।
Question 16
Question bank
नीचे दिए गए संख्या रेखा चित्र को देखें। जिसमें 1 से 10 तक की प्राकृत संख्याएं दर्शायी गई हैं।
प्राकृत संख्या 7 पर स्थित बिंदु का मान क्या है?
Why: संख्या रेखा पर 7वें बिंदु पर प्राकृत संख्या 7 को दर्शाया गया है।
Question 17
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में 1 से 10 तक की प्राकृत संख्याएं और उनका औसत दर्शाया गया है।
1 से 10 तक की प्राकृत संख्याओं का औसत क्या होगा?
Why: प्राकृत संख्याओं के औसत का सूत्र है \( \frac{\text{पहली संख्या} + \text{अंतिम संख्या}}{2} = \frac{1+10}{2} = 5.5 \)।
Question 18
Question bank
निम्नलिखित चित्रांक देखें। 1 से 7 तक के प्राकृतिक संख्याओं का वर्ग वर्गमूल रूप दर्शाया गया है।
प्राकृतिक संख्या 3 का वर्गफल कौन सा है?
Why: प्राकृतिक संख्या 3 का वर्गफल \( 3^2 = 9 \) होता है।
Question 19
Question bank
निम्नलिखित चित्रांक देखें। 1 से 8 तक की प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल दर्शाए गये हैं।
1 से 4 तक के प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल क्या है?
Why: प्राकृतिक संख्याओं 1 से 4 तक का गुणनफल \(1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24\) है।
Question 20
Question bank
निम्नलिखित सारणी देखें। 1 से 6 तक की प्राकृतिक संख्याओं और उनके वर्ग एवं घन दर्शाए गए हैं।
प्राकृतिक संख्या 2 के घन का मान क्या है?
संख्या
वर्ग (n^2)
घन (n^3)
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64
5
25
125
6
36
216
Why: प्राकृतिक संख्या 2 का घन \( 2^3 = 8 \) होता है।
Question 21
Question bank
निम्नलिखित चित्रांक देखें। जो 1 से 9 तक की प्राकृतिक संख्याओं की संख्यात्मक श्रृंखला है।
संख्या रेखा पर 5 और 7 के बीच की प्राकृतिक संख्या कौन-सी है?
Why: संख्या रेखा पर 5 और 7 के बीच की केवल संख्या 6 आती है।
Question 22
Question bank
निम्नलिखित चित्रांक देखें। यहाँ 1 से 9 तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग और घन दर्शाए गए हैं।
प्राकृतिक संख्या 4 का घन कितना होता है?
Why: प्राकृतिक संख्या 4 का घन \(4^3 = 64\) होता है।
Question 23
Question bank
नीचे दिए गए आलेख में 1 से 5 तक की प्राकृत संख्याओं का मान तथा उनका गुणनफल दिखाया गया है।
1 से 5 तक की प्राकृत संख्याओं का गुणनफल क्या है?
Why: 1 से 5 तक की प्राकृत संख्याओं का गुणनफल \(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\) है।
Question 24
Question bank
प्राकृत संख्याएँ क्या हैं?
निम्नलिखित में से कौन प्राकृत संख्या नहीं है?
Refer to the diagram below showing प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, … labelled on a number line।
Why: प्राकृत संख्याएँ वे प्राकृतिक पूर्णांक हैं, जैसे 1, 2, 3, 4, 5 आदि। 6.5 प्राकृत संख्या नहीं है क्योंकि यह पूर्णांक नहीं है।
Question 25
Question bank
प्राकृत संख्याओं का वर्ग (Square) ज्ञात करें यदि संख्या \( n = 4 \) हो।
Refer to the diagram below where संख्या 4 का वर्ग दर्शाया गया है।
Why: प्राकृत संख्या 4 का वर्ग \(4 \times 4 = 16\) होता है।
Question 26
Question bank
प्राकृत संख्या \( 7 \) के गुणनखंड (Factors) में कौन कौन से हैं?
Refer to the diagram below showing प्राकृत संख्या 7 के संभावित घटकों के लिये संख्या 1 से 7 तक के पूर्णांक।
Why: 7 एक अभाज्य संख्या है जिसके केवल 2 गुणनखंड होते हैं: 1 और 7।
Question 27
Question bank
प्राकृत संख्या \( 12 \) के लिये निम्नलिखित में से कौन सा सही विभाजक बिलकुल सही है?
Refer to the diagram below depicting संख्या 12 के संपादित विभागकों 1, 2, 3, 4, 6, 12 को दर्शाता है।
Why: 12 के विभागक 1, 2, 3, 4, 6, 12 हैं। 4 और 6 सही विभाजक हैं।
Question 28
Question bank
1 से 10 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग कितना हुआ?
Refer to the diagram below showing प्राकृत संख्याएँ 1 से 10 तक क्रमशः labelled।
Why: 1 से 10 तक के प्राकृत संख्याओं का योग \( \frac{10 \times 11}{2} = 55 \) होता है।
Question 29
Question bank
प्राकृतिक संख्याएँ कौन-कौन से प्रकार की संख्याएँ होती हैं?
Why: प्राकृतिक संख्याएँ वे सकारात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, ...) होती हैं जो शून्य या ऋणात्मक नहीं होतीं।
Question 30
Question bank
प्राकृतिक संख्या \( n \) के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
यदि \( n = 5 \) हो तो \( n! \) (फैक्टोरियल) कितना होगा?
नीचे दिया गया चित्र \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) का विवरण दर्शाता है।
Why: 5 का फैक्टोरियल \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) होता है।
Question 31
Question bank
प्राकृतिक संख्याएँ \( 1, 2, 3, ... 15 \) का माध्य (average) क्या होगा?
नीचे दिया गया चित्र प्राकृतिक संख्याएँ 1 से 15 तक दर्शाता है।
Why: 1 से 15 तक की प्राकृतिक संख्याओं का माध्य \( \frac{1+15}{2} = 7.5 \) होता है।
Question 32
Question bank
1 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं में सभी अभाज्य संख्याओं की संख्या क्या है?
नीचे दिया गया चित्र अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 दर्शाता है।
Why: 1 से 20 तक अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; कुल 8।
Question 33
Question bank
प्राकृतिक संख्याओं के गुणा और जोड़ में से कौन-सा सही है?
यदि प्राकृतिक संख्याएँ \( a = 3 \) और \( b = 4 \) हों, तो
Why: 3 और 4 के लिए \(3 \times 4 = 12\) और \(3 + 4 = 7\) सही है।
Question 34
Question bank
प्राकृत संख्याओं के गुणनखंड ज्ञात करें:
संख्या \( 18 \) के लिए निम्नलिखित में से कौन-से गुणनखंड हैं?
Refer to the diagram below depicting प्राकृत संख्या 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9, 18।
Why: 18 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 6, 9, 18। विकल्प A में सभी ये गुणनखंड दिये गए हैं।
Question 35
Question bank
संख्या \( 10 \) की वर्गमूल (Square Root) कौन-सी है?
Refer to the diagram below showing square roots of प्राकृत संख्याएँ 1 से 16।
Why: 10 का वर्गमूल लगभग 3.16 होता है।
Question 36
Question bank
प्राकृत संख्याओं का उपयुक्त किस प्रकरण के अंक प्राणालियों में नहीं होता है?
Why:सही उत्तर के कारण: प्राकृत संख्याओं केवल प्राकृतिक और पूर्णांक (शून्य सहित) के लिए प्रयोग होती हैं, उणात्मक संख्याएँ प्राकृत संख्याओं से अभिव्यक्त नहीं होतीं। छात्र क्यों भ्रमित होते हैं: छत्र समान रूप से रूप से संख्या पुनः संख्याओं लिखी जाती हैं, ऐसा सोच लेते हैं (biased reasoning)। विकल्पों के अनुसार: B सही है क्योंकि पूर्णांक संख्याओं में दशमलव सही क्रम से दर्शायी जाती हैं; D भी बार दशमलव संख्याओं में प्रयोग होती है; केवल A से उणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं होतीं, अतः वह सही है।
Question 37
Question bank
प्राकृत संख्याओं के संदर्भ में, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
Why:सही उत्तर कारण: प्राकृत संख्याएँ दशमलव आधार पर होती हैं और डिजिटल ० से ९ तक होते हैं। छात्र क्यों भ्रमित होते हैं: कुछ छात्र शून्य की उपस्थिति या संख्याओं की लंबाई के विषय में भ्रमित होते हैं (विशेष केस के कारण और याददाश्त)। प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण: A शून्य को नहीं दर्शाता; C संख्याओं की लंबाई के लिए ठीक नहीं; D शून्य का प्रतीक नहीं होना गलत; B सही है।
Question 38
Question bank
नीचे दिए गए संख्यरेखा में \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \) के सं अंकित मान दर्शाए गए हैं। चित्र में दर्शाए गए बिंदु \( A, B, C \) पर ये मूल्य क्रमशः हैं:
\( A = 1.4, \quad B = \sqrt{2}, \quad C = 1.7 \)
इस संदर्भ में, निम्नलिखित में से कौन सही है?
"\( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \) दोनों संख्या अक्षरों हैं जो संख्यरेखा पर बिंदु \( B \) और \( C \) पर स्थित हैं।"
Why: \( \sqrt{2} \) तथा \( \sqrt{3} \) वे संख्याएँ हैं जिनका वर्ग पूर्णांकों नहीं होता और इनमें भिन्न के रूप में व्याक्त नहीं किया जा सकता, अतः ये दोनों अप्रमेय संख्याएँ हैं।
Question 39
Question bank
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या प्रमुख संख्या है?
Why: \( \frac{3}{5} \) एक ऐसा भिन्न है जिसे प्रमुख संख्या कहा जाता है। जबकि \( \sqrt{5} \), \( \pi \), और \( \sqrt{7} \) अप्रमेय संख्याएँ हैं।
Question 40
Question bank
प्रमेय संख्याओं के एवं में से कौन-सा सही है?
Why: दो प्रमेय संख्याओं का योगफल और गुणनफल भी प्रमेय संख्याएं होती हैं।
Question 41
Question bank
नीचे दी गई आकृति में \( \sqrt{2} \) का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व दर्शाया गया है। त्रिभुज \( ABC \) में, \( AB = BC = 1 \) इकाई और \( AC \) सबसे लंबबी भुजा है। \( AC \) की लंबाई क्या है?
(चित्र में दिए गए समकोणीय समद्विबाहु त्रिभुज का संदर्भ लें)
Why: सीधे कोण वाले समद्विबाहु त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई \( \sqrt{2} \) की बराबर होती है जब अन्य दोनों भुजाएँ 1 होती हैं।
Question 42
Question bank
निम्नलिखित में से कौन-सा कौल्सा कथन अ तिथि अास्त्य है?
Why: अप्रमेय संख्याएँ दशमलव में न निरंतर समाप्त होती हैं और न आवर्ती होती हैं। इसलिए इन्हें आव्यक्त दशमलव के रूप में लिखा जाता है।
Question 43
Question bank
\( \sqrt{5} \) के मान के लिए कौन-सा संख्या सही है?
नम्बर लाइन के आरेख में जहां बिंदु 2, 2.2, \( \sqrt{5} \), 2.3, 3 अंकित हैं और \( \sqrt{5} \) 2.2 और 2.3 के बीच स्थित है।
Why: \( \sqrt{5} \) का मान लगभग 2.236 होता है जो 2.2 और 2.3 के बीच में है।
Question 44
Question bank
अपरिमेय संख्याओं के लिए कौन-सा कथन सही है?
Why: अपरिमेय संख्या ऐसी संख्याएँ हैं जिनका वर्ग पूर्णांक नहीं होता और इन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
Question 45
Question bank
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या आ.क्यू. (Rational number) नहीं है?
Why: \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है और इसे भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, अतः यह क्रम संख्या नहीं है।
Question 46
Question bank
यदि \( p \) और \( q \) क्रमिमेय संख्याएँ हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमिमेय संख्या होगा?
Why: \( p+\sqrt{2} \) अपरिमेय होगा क्योंकि \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है और क्रमिमेय संख्या में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होगा।
Question 47
Question bank
यदि \( \sqrt{5} \) को भिन्न के रूप में व्यक्त करने का प्रयास किया जाए, तो क्या परिणाम होगा?
Why: \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए इसका दशमलव रूप अनित्य और आवर्ती नहीं होता है।
Question 48
Question bank
परिमेय एवं अपरिमेय संख्याओं के योग के विषय में कौन-सा कथन सही है?
Why: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के योग में, परिणाम सदैव अपरिमेय होता है।
Question 49
Question bank
नीचे दिये गए संख्या रेखा में बिंदु \( P \), \( Q \) और \( R \) पर क्रमशः \( 1, \sqrt{2}, 2 \) अंकित हैं। यदि \( PQ \) और \( QR \) की दूरी की तुलना करनी हो तो कौन-सा कथन सही होगा?
निम्न चित्र संख्या रेखा दिखाता है जहाँ बिंदु \( P=1 \), \( Q=\sqrt{2} \) और \( R=2 \) हैं।
Why: \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) है, इसलिए \( PQ = \sqrt{2} -1 =0.414 \) और \( QR = 2 - \sqrt{2} = 0.586 \) होता है। अतः \( PQ < QR \)।
Question 50
Question bank
कौन-सा कथन परिमेय एवं अपरिमेय संख्याओं के गुणों के लिए उचित है?
Why: दो परिमेय संख्याओं का भागफल भी परिमेय होता है (शून्य के अकर्ण), इस कथन को सही माना जाता है।
Question 51
Question bank
निम्न में से कौन-सा परिमेय संख्या नहीं है?
Why: \( \sqrt{10} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे दशमलव में लिखा नहीं जा सकता।
Question 52
Question bank
यदि \( a \) एक परिमेय संख्या है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
Why: परिमेय संख्या में अपारिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है, बशर्ते परिमेय संख्या \( -\sqrt{2} \) न हो।
Question 53
Question bank
किस संख्या को परिमेय संख्या नहीं माना जाता है?
Why: \( e \) एक अपरिमेय संख्या है जो भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं हो सकती।
Question 54
Question bank
नीचे दिए गए त्रिभुज में \( \sqrt{3} \) की प्रर्त्यक्ष ज्यामितीय अभिव्यक्ति दी गई है। त्रिभुज में \( AB = 1 \), \( BC = \sqrt{3} \) और कोण \( B = 90^\circ \) है। \( AC \) की लंबाई क्या होगी?
नीचे दिए गए चित्र में त्रिभुज ABC है जिसमें कोण B समकोण है और भुजाएँ \( AB = 1 \), \( BC = \sqrt{3} \) हैं।
Why: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1 + 3 = 4 \) अतः \( AC = 2 \) होगा।
Question 55
Question bank
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय संख्या है?
Why: \( \pi \) एक अपरिमेय संख्या है जो त्रिज्या एवं परिधि के अनुपात को दर्शाती है।
Question 56
Question bank
निम्नलिखित में से कौन पूर्ण संख्या प्रमेय संख्या है?\(\sqrt{49}\), \(\pi\), \(\frac{3}{7}\), \(\sqrt{2}\) प्रदत्त संख्याओं को देखें।
Why: \(\sqrt{49} = 7\) जो एक पूर्ण संख्या है, इसलिए यह पूर्ण संख्या संख्या है। \(\pi\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय हैं, जबकि \(\frac{3}{7}\) भिन्न पूर्ण संख्या है। विकल्प 'A' पूर्ण संख्या दर्शाता है।
Question 57
Question bank
यहां दी गई राशियों में से कौन अपरिमेय संख्या है?\(0.1010010001...\), \(\frac{5}{9}\), \(0.333...\), 2.75 अगले विकल्पों में से चुनें।
Why: \(0.1010010001...\) एक अनियमित दशमलव है, अतः यह अपरिमेय संख्या है, जबकि अन्य सभी पूर्ण या भिन्न संख्या हैं।
Question 58
Question bank
यदि \(a = \sqrt{3}\) और \(b = \sqrt{12}\) हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सत्य है? प्रदत्त अभिव्यक्तियों को देखें।
Why: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) भी अपरिमेय है क्योंकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं।
Question 59
Question bank
किस संख्या का दशमलव रूप '0.545454...' है? आवर्ती दशमलव को देखें।
Why: '0.545454...' एक आवर्ती दशमलव है जो \(\frac{6}{11}\) के बराबर है, इसलिए यह पूर्ण संख्या संख्या है।
Question 60
Question bank
निम्नलिखित में से कौन सा प्रत्येक सत्य है? परिमेय एवं अपरिमेय संख्या के गुण देखें।
Why: परिमेय संख्या दशमलव रूप में या तो आवर्तक होती हैं या समाप्त होती हैं, यह पहला मुख्य विधि सिद्धांत है।
Question 61
Question bank
यदि \(x = 2.414213...\) और \(x^2 = 6\), तो \(x\) किस प्रकार की संख्या है? (अंकीय और वर्ग के प्रमाण देखें।)
Why: \(2.414213...\) अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार है, और \(x^2 = 6\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(x = \sqrt{6}\) अपरिमेय संख्या है।
Question 62
Question bank
निम्न में से कौन सी संख्या परिमेय संख्या नहीं है? (सूची देखें।) \(\sqrt{16}\), \(\sqrt{8}\), \(\frac{8}{3}\), \(3.125\)
Why: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) अपरिमेय है, क्योंकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। अन्य सभी परिमेय हैं।
Question 63
Question bank
यदि \(x = 0.121212...\), तो \(x\) कौन सी संख्या होगी? (पुनरावृत्ति दशमलव देखें।)
Why: आवर्तक दशमलव \(0.121212...\) परिमेय संख्या को दर्शाता है।
Question 64
Question bank
किस संख्या की दशमलव अभिव्यक्ति कभी समाप्त नहीं होती और आवर्तक भी नहीं होती? (दशमलव प्रकार देखें।)
Why: अपरिमेय संख्याओं की दशमलव अभिव्यक्ति अनियमित होती है – न समाप्त होती है और न आवर्तक।
Question 65
Question bank
निम्नलिखित में से कौन सा गुणा कृत्य रूप से परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के गुणा करने पर परिमेय संख्या देता है? (गुणा के गुण देखें।)
Why: परिमेय और अपरिमेय में गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है।
Question 66
Question bank
यदि \(x = \frac{m}{n}\) जहाँ \(m, n\) पूर्णांक हैं एवं \(n eq 0\), तो \(x\) किस श्रेणी में होगा? Refer to the definition of rational numbers.
Why: परिमेय संख्या उसी प्रकार की संख्या है जो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में होती है।
Question 67
Question bank
किस संख्या का वर्ग अपरिमेय होगा? \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{4}\), \(2\), \(4\) Refer to square and rationality.
Why: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, क्योंकि इसका वर्ग 2 है जो परिमेय है, इसलिये वर्ग अपरिमेय नहीं होता। सही उत्तर : कोई नहीं। परंतु विकल्प सीमित है, \(\sqrt{2}\) बेहतरिन विकल्प है।
Question 68
Question bank
निर्मलिकित में कौन सा केवल अपरिमेय संख्या का उदाहरण नहीं है? Refer to all options.
Why: \(\frac{22}{7}\) परिमेय संख्या है। अन्य सभी अपरिमेय हैं।
Question 69
Question bank
किस संख्या के दशमलव रूप के आधार पर उसकी स्थिति का निर्णय नहीं किया जा सकता? Refer to decimal properties.
Why: दशमलव का रूप अनात्मकता से संबन्धित नहीं होता, इसलिए इसका निर्णय नहीं किया जा सकता।
Question 70
Question bank
यदि \(x\) अपरिमेय संख्या है, तो निम्नलिखित में से कौन सही है? Refer to properties of irrational numbers.
Why: \(x = \sqrt{2}\) के लिए \(x^2 = 2\) परिमेय है। इसलिए अपरिमेय संख्या का वर्ग परिमेय हो सकता है।
Question 71
Question bank
निम्नलिखित में से कौन सा परिमित आवर्तक दशमलव है?
Why: 0.123123... एक परिमित आवर्तक दशमलव है जिसमें निष्चित आवर्ती भाग है।
Question 72
Question bank
कौन-सा संख्यात्मक दशमलव रूप में समाप्त होगी?
Why: \(\frac{7}{8} = 0.875\) जो दशमलव रूप में समाप्त होता है। बाकी अपरिमेय या आवर्तक दशमलव हैं।
Question 73
Question bank
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में कौन सा संबंध सही है?
Why: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दो अलग-अलग उपसमुच्चय हैं, जिनका कोई ओवरलैप नहीं होता।
Question 74
Question bank
किस संख्या के लिए \(x^2 - 3 = 0\) समीकरण की जड़ें हों सकती हैं?
Why: \(x^2 - 3 = 0\) का हल \(x = \pm \sqrt{3}\) है जो अपरिमेय संख्या हैं।
Question 75
Question bank
किस संख्या का वर्ग परिमेय है लेकिन संख्या स्वयं अपरिमेय है?
Why: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है जबकि \((\sqrt{5})^2 = 5\) परिमेय है।
Question 76
Question bank
निम्न में से कौन सी संख्या परिमेय नहीं है? Refer to definition and examples.
Why: \(\sqrt{10}\) अपरिमेय संख्या है, बाकी परिमेय हैं।
Question 77
Question bank
कौन सी संख्या दशमलव रूप में '0.999...' है? Refer to decimal representation.
Why: '0.999...' परिमेय संख्या है और यह 1 के बराबर है।
Question 78
Question bank
निम्नलिखित में से कौन प्रमुख अपरिमेय संख्या है? Refer to examples.
Why: \(\pi\) अपरिमेय संख्या है, अन्य सभी परिमेय हैं।
Question 79
Question bank
यदि एक संख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व अनियतिमित है, तो वह संख्या किस श्रेणी में आयेगी? Refer to decimal pattern.
Why: अनियतिमित दशमलव रूप केवल अपरिमेय संख्याओं के लिए होता है।
Question 80
Question bank
निम्नलिखित में से कौन-कौन से संख्याएँ अपरिमेय हैं?\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{9}\), \(\pi\), \(\frac{1}{2}\) Choose the best options.
Why: \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं, बाकी परिमेय या पूर्णांक हैं।
Question 81
Question bank
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या एक पूर्ण संख्या (Integer) है?
Refer to the diagram below showing वास्तविक और पूर्णांकों की संख्या रेखा जिसमे -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 अंकित हैं।
Why: पूर्ण संख्या वे संख्याएँ होती हैं जिनमें दशमलव या भिन्न भाग नहीं होता, जैसे कि -1, 0, 1, 2, 3 आदि। विकल्प B में -1 पूर्ण संख्या है।
Question 82
Question bank
Refer to the diagram below जिसमें प्राकृतिक संख्याएं \(1,2,3,4,5\) तथा उनके वर्गमूल और घनमूल दर्शाए गए हैं। निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
Why: \(\sqrt{4} = 2\) क्योंकि 2 का वर्ग 4 होता है, और \(3^3 = 27\) क्योंकि 3 का घन 27 होता है।
Question 83
Question bank
Refer to the diagram below जिसमें वास्तविक संख्याओं की संख्या रेखा दिखाई गई है, जहाँ \(-\sqrt{2}, -1, 0, 1, \sqrt{2}\) अंकित हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Why: \(\sqrt{2}\) का मान लगभग 1.414 होता है इसलिए \(-\sqrt{2}\) का मान लगभग -1.414 के बराबर है।
Question 84
Question bank
निम्न में से कौन-से पूर्ण-सांख्यिक सेट समझ में पूरी तरह उपयुक्त हैं?
Refer to the diagram below जिसमें अपरिमेय संख्याओं जैसे \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\) के मान दर्शाए गए हैं।
Why: अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जो भिन्न और पूर्ण संख्याओं में नहीं आतीं, जैसे \(\sqrt{2}\), \(\pi\), और \(e\)।
Question 85
Question bank
Refer to the diagram below जिसमें पूर्णांकों के वर्ग और वर्गमूल दर्शाए गए हैं। यदि \(x=3\), तो \(x^2\) और \(\sqrt{x^2}\) क्या होंगे?
Why: \(3^2=9\), और \(\sqrt{9}=3\) होता है।
Question 86
Question bank
निम्न में से कौन-सी संख्या अपरिमेय संख्या नहीं है?
नीचे दिए गए चित्र में एक वास्तविक संख्या दी गई है।
Why: \(\frac{1}{2}\) एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे भिन्न के रूप में स्पष्ट किया जा सकता है। अन्य विकल्प सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।
Question 87
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में पूर्णांक, भिन्न और अपरिमेय संख्याओं का समूह दर्शाया गया है। किस समूह में केवल पूर्णांक शामिल हैं?
Why: पूर्णांक वे संख्याएँ होती हैं जो बिना दशमलव के पूर्ण होती हैं। जैसे -3, -2, 0, 4।
Question 88
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में वास्तविक संख्याओं की संख्या रूपरेखा पर \(\sqrt{5}\) और \(2\) अंकित हैं। निम्न में से कौन-सा कथन सही है?
Why: \(\sqrt{5} \approx 2.236\) होता है, जो \(2\) से बड़ा है।
Question 89
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में पूर्णांक और वास्तविक संख्या रूपांतरण (Decimal Conversion) दी गई है। पूर्णांक \(-4\) का दशमलव रूप क्या होता है?
Why: पूर्णांक \(-4\) का दशमलव रूप \(-4.0\) होता है। जिससे दशमलव के बाद शून्य लगा होता है।
Question 90
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में वास्तविक संख्याओं को सीमा वाले वर्गों में विभाजित किया गया है। निम्न में से कौन-सा वर्ग अपरिमेय संख्या दर्शाता है?
Why: अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जो परिमेय नहीं हैं, जैसे \(\pi, e, \sqrt{3}\)।
Question 91
Question bank
निम्नलिखित आकृति में वास्तव में संख्याओं की संख्या रेखा पर विविभाजित संख्या अंकित हैं। \(-1\) और \(1\) के बीच कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
Why: \(\pi/4\) एक अपरिमेय संख्या है जो \(-1\) और \(1\) के बीच आती है।
Question 92
Question bank
निम्नलिखित आकृति में दिए गए संख्याएं \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}\) और उनके दशमलव रूप दर्शाए गए हैं। \(\frac{3}{4}\) का दशमलव रूप क्या है?
Why: \(\frac{3}{4} = 0.75\) होता है।
Question 93
Question bank
निम्नलिखित आकृति में वास्तव में संख्याओं के वर्ग एवं उन्हें वर्गमूल दिया गया है। यदि \(x = -4\) है तो \(\sqrt{x^2}\) क्या होगा?
Why: \(x^2 = (-4)^2 = 16\) और \(\sqrt{16} = 4\) होता है क्योंकि वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है।
Question 94
Question bank
निम्नलिखित आकृति में वास्तविक संख्याओं के परकार दर्शाए गए हैं। नीचे दिए गए विकल्पों में से कौन-सा युग्म पूर्णांक और उनका अभिव्यक्ति को सही दर्शाता है?
Why: पूर्णांक वे संख्या हैं जो पूर्ण और बिना दशमलव भाग के होते हैं जैसे \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\)।
Question 95
Question bank
निम्नलिखित आकृति में संख्याएँ रेखा पर विभाजित अंकित हैं। इनके बीच संबंध क्या क्रम है?
Why: संख्या रेखा पर छोटी से बड़ी के अनुसार \(\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\) क्रम होता है।
Question 96
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में पूर्णांकों, वास्तविक संख्याओं और उनके वर्गीकरण दर्शाया गया है। निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या वास्तविक, पूर्णांक है?
Why: 0 एक वास्तविक संख्या है जो पूर्णांक भी है और प्राथमिक रूप में इसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है \(\frac{0}{1}\)।
Question 97
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में पूर्णांकों के अधििकत्म और न्यूनतम मान दिखाए गए हैं। इस संख्या में \(-7, 0, 8\) क्या सूचीबद्ध हैं?
Why: \(-7, 0, 8\) सभी पूर्णांक हैं क्योंकि इनमें दशमलव या भिन्न भाग नहीं है।
Question 98
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में निम्न संख्याओं के वर्गीकरण दिखाए गए हैं। निम्न में से कौन-सी संख्या भिन्न संख्या नहीं है?
Why: \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, जबकि सभी अन्य दशमलव या भिन्न के रूप में न होकर, जटिल अन्य विकल्त भिन्न या प्राथमिक संख्याएँ हैं।
Question 99
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में वास्तविक संख्याओं की श्रेणियाँ दी गई हैं। स्वरों के आधार पर \(\sqrt{9}\) किस श्रेणी में आता है?
Why: \(\sqrt{9} = 3\) होता है जो पूर्णांक भी है और प्राथमिक संख्या भी।
Question 100
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में मुख्य संख्या प्रकार दर्शाए गए हैं: प्राथमिक, पूर्णांक, अपरिमेय। निम्न में से कौन-सी संख्या पूर्णांक नहीं है?
Why: 2.5 एक पूर्णांक नहीं है क्योंकि इसमें दशमलव भाग है।
Question 101
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में \(\pi\) की दशमलव मान और उसका स्थान दिखाया गया है। \(\pi\) का मान क्या है?
Why: \(\pi\) का मान लगभग 3.1415 होता है।
Question 102
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में \(\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}\) के मान दिखाए गए हैं। इनमें से कौन सा कथन सही है?
Why: वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{1} = 1\), \(\sqrt{4} = 2\) तथा \(\sqrt{9} = 3\)।
Question 103
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में वास्तविक संख्याओं कीvistṛt श्रेणी दर्शाई गई है। इनमें से कौन-सी प्राकृतिक संख्या नहीं है?
Why: प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्ण संख्या होती हैं (1, 2, 3, ...), अतः \(-1\) प्राकृतिक संख्या नहीं है।
Question 104
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में भिन्न संख्याओं का एक समूह और उनके दशमलव मान दर्शाए गए हैं। इनमें से कौन-सा दशमलव पृथक संख्याओं को दर्शाता है?
Why: 0.25 एक परिसम संख्याए है क्योंकि इसे \(\frac{1}{4}\) के रूप में लिखा जा सकता है।
Question 105
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{9}\) और \(\sqrt{16}\) दर्शाए गए हैं। \(\sqrt{8}\) किस प्रकार की संख्या है?
Why: \(\sqrt{8}\) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे कोई सरल भिन्न या पूर्णांक के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
Question 106
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जिस में परिमेय संख्या \(\frac{2}{3}\) और उसकी दशमलव रूपांतरण दर्शाई गई है। दशमलव रूप क्या होगा?
Why: \(\frac{2}{3}\) का दशमलव रूप 0.666... (अनंत पुनरावृत्ति) होता है।
Question 107
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जिसमें वास्तिक संख्याओं की संख्या रेखा पर अंकित संख्याएँ हैं। कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
Why: \(\pi\) एक अपरिमेय संख्या है, जिसे भले कोई पूर्ण संख्या या भिन्न न हो।
Question 108
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जिसमें विभिन्न संख्याओं का वर्ग और वर्गमूल दर्शाया गया है। यदि \(x = -5\), तो \(\sqrt{x^2}\) क्या होगा?
Why: \(\sqrt{x^2} = |x|\) होता है, अतः \(\sqrt{(-5)^2} = 5\)।
Question 109
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जिसमें परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दर्शाई गई हैं। निम्न में से कौन-सी संख्या भिन्न संख्या की श्रेणी में आती है?
Why: 0.2 एक परिमेय संख्या है क्योंकि भिन्न \(\frac{1}{5}\) के रूप में लिया जा सकता है।
Question 110
Question bank
नीचे दिए गए चित्र को देखें। जिसमें विभिन्न वर्गमूलों का मान और उनकी स्थिति दर्शाई गई है। \(\sqrt{25}\) का मान क्या है?
Why: \(\sqrt{25}\) का मान 5 है क्योंकि 5 का वर्ग 25 होता है और वर्गमूल धनात्मक मान होता है।
Question 111
Question bank
नीचे दर्शाए गए चित्र में विभिन्न संख्याएँ और उनके क्रम दिखाए गए हैं। निम्न में कौन-सी संख्या सबसे छोटी है?
Why: \(\frac{1}{5} = 0.2\) जो कि सबसे छोटी संख्या है। अन्य क्रम: \(\frac{1}{3} \approx 0.333\), \(\frac{1}{2} = 0.5\), \(\frac{2}{3} \approx 0.666\)।
Question 112
Question bank
नीचे दर्शाए गए चित्र में वास्तविक संख्याओं को उनके श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है। निम्न में से कौन-सी संख्या वास्तविक लेखीय पूर्णांक नहीं है?
Why: 0.5 एक वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्णांक नहीं क्योंकि इसमें दशमलव भाग है।
Question 113
Question bank
नीचे दर्शाए गए चित्र में विभिन्न संख्याएँ और उनके वर्गमूल दर्शाए गए हैं। निम्न में से कौन-सी संख्या वर्गमूल पूर्णांक है?
Why: \(9, 16, 25\) के वर्गमूल क्रमशः \(3, 4, 5\) होते हैं, जो पूर्णांक हैं।
Question 114
Question bank
नीचे दर्शाए गए चित्र में दशमलव संख्याओं और उनके भिन्न रूप दर्शाए गए हैं। \(0.2\) का भिन्न रूप क्या है?
Why: 0.2 को \(\frac{1}{5}\) के रूप में लिखा जाता है।
Question 115
Question bank
नीचे दर्शाए गए चित्र में विभिन्न संख्याएँ प्रकार दर्शाए गए हैं। निम्न में से कौन-सी संख्या परमेय संख्या नहीं है?
Why: \(\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है; इसे भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
Question 116
Question bank
नीचे दिए गए चित्र में वस्तुविक संख्याओं की संख्यात्मक रेखा और उनके मान दिखाए गए हैं। इनमें से कौन-सा जोड़ वस्तुविक संख्याओं \(1\) और \(\sqrt{3}\) का परिवर्तन होता है?
Why: \(\sqrt{3} \approx 1.732\) होता है, इसलिए \(1 + 1.732 = 2.732\) के बराबर है।
Question 117
Question bank
नीचे दिए गए संख्या रेखा पर बिंदु A और B क्रमशः \( 2.5 \) और \( -3.7 \) पर स्थित हैं। बिंदु A और B के बीच की दूरी क्या होगी?
Why: संख्या रेखा पर दो बिंदुओं के बीच दूरी का मान उनके मूल्यों के बीच का अंतर (मॉड्यूलस) होता है। अतः दूरी = \( |2.5 - (-3.7)| = |2.5 + 3.7| = 6.2 \)
Question 118
Question bank
दिए गए वक्रों में से कौन-से युग्म दो वास्तविक संख्याओं के वर्ग के बराबर हैं? (नीचे वाले चित्र में संख्याएँ और उनके वर्ग दिखाए गए हैं)
Why: वास्तविक संख्या x का वर्ग \( x^2 \) होता है। विकल्प A में दी गई संख्याएँ और उनके वर्ग सही हैं, जैसे \( 3^2 = 9 \) और \( (-4)^2 = 16 \)। अन्य विकल्पों में वर्ग की गणना गलत है।
Question 119
Question bank
वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल के निम्नलिखित में से कौन सा सही है? (नीचे चित्र में संख्या रेखा पर बिंदु C \( 4 \) और D \( -4 \) पर हैं)\n\nयदि \( \sqrt{16} = ? \) तो सही विकल्प चुनिये।
Why: वर्गमूल \( \sqrt{16} \) किसी भी संख्या के लिए केवल धनात्मक मान होता है, अतः \( \sqrt{16} = 4 \)। \( -4 \) वर्गमूल नहीं है क्योंकि यहाँ \( 16 \) का वर्ग मात्र धनात्मक है।
Question 120
Question bank
नीचे दिए गए त्रिभुज ABC में \( \angle A = 90^\circ \) है। AB = 3 इकाई और BC = 5 इकाई दिए गए हैं। AC की लंबाई क्या होगी?
Why: दाएं कोण वाले त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)\n\( 5^2 = 3^2 + AC^2 \)\n\( 25 = 9 + AC^2 \) अतः \( AC^2 = 16 \) और \( AC = 4 \)
Question 121
Question bank
नीचे दिए गए सांख्यिक सेट में कौन-सी संख्या एक अपरिमेय संख्या है?\n(निम्नलिखित विकल्पों में दिए गए हैं)
संख्या
प्रकार
\( \sqrt{2} \)
अपरिमेय संख्या
\( \frac{3}{4} \)
परिमेय संख्या
\( -5 \)
पूर्ण संख्या
\( 0 \)
पूर्णांक
Why: \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे भिन्न के रूप में व्याक्त नहीं किया जा सकता। अन्य विकल्प पूर्णांक या परिमेय संख्याएँ हैं।
Question 122
Question bank
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या परिवेْश्य संख्या नहीं है? Refer to the diagram below showing various examples of rational and irrational numbers.
Why: परिमेय संख्या वह होती है जिसके दशमलव विस्तार या तो समाप्त या पुनरावर्ती होता है। विकल्प A में दशमलव श्रृंखला अनन्त गैर-पुनरावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है।
Question 123
Question bank
यदि \( a = \sqrt{3} + 1 \) और \( b = \sqrt{3} - 1 \) हो, तो \( a \times b \) का मान क्या होगा? Refer to the expressions below with square roots.
संख्या रेखा पर, यदि \( x = -\frac{7}{4} \) और \( y = 1.75 \) हो, तो \( |x| + |y| \) का मान क्या होगा? Refer to the number line with points marked at \( -1.75 \) and \( 1.75 \).
यदि \( x \) और \( y \) दोनो वास्तव संख्याएँ हैं, और \( x^2 = y^2 \), तो निम्नलिखित में से कौन-सा आवश्याक सत्य है?
Why: यदि \( x^2 = y^2 \) हो, तो \( x = y \) या \( x = -y \) सच होता है। दोनों केस संभव होते हैं।
Question 126
Question bank
नीचे दी गई संख्या रेखा में, संख्या-एं \( -2, -1, 0, 1, 2 \) अंकित हैं। कौन-सी संख्या अपरिमेय है और संख्या रेखा पर \( \sqrt{2} \) के स्थान का अनुमान लगाइए? Refer to the diagram below showing numbers on the number line.
Why: \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है और इसका मान लगभग 1.414 होता है, जो संख्या \( 1 \) और \( 2 \) के बीच आता है।
Question 127
Question bank
यदि \( \sqrt{50} = ? \), तो उसे किस रूप में लिखना उचित होगा?
वास्तविक संख्याएँ किस प्रकार वर्गीकृत होती हैं? निम्नलिखित में से सही वर्गीकरण का चयन करें।
Why: वास्तविक संख्याएँ मुख्यतः प्रमेय (rational) और अप्रमेय (irrational) संख्याओं में वर्गीकृत होती हैं।
Question 129
Question bank
निम्नलिखित विकल्पों में से कौन एक अपरमेय संख्या का उदाहरण नहीं है?
Why: \( 0.333... = \frac{1}{3} \) एक प्रमेय संख्या है जबकि अन्य विकल्प अपरमेय संख्या हैं।
Question 130
Question bank
नीचे दिया गया संख्या सेट कौन सा है? \( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} \)
Why: यह सेट पूर्णांक संख्याओं का उदाहरण है जिसमें धनात्मक, शून्य और ऋणात्मक पूर्णांक सम्मिलित हैं।
Question 131
Question bank
अगर \( 0 < x < 1 \) और \( x \) एक प्रमेय संख्या है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प उचित होगा?
Why: प्रमेय संख्या का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होता है या पुनरावृत्ति स्वरूप में होता है।
Question 132
Question bank
वास्तविक संख्याओं के सेट \( \mathbb{R} \) में काल्पनिक संख्याएँ क्यों सम्मिलित नहीं हैं?
Why: काल्पनिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के सेट का भाग नहीं हैं।
Question 133
Question bank
यदि \( x = -\sqrt{9} \) हो, तो \( x \) का मान क्या होगा?
Why: \( \sqrt{9} = 3 \), इसलिए \( x = -3 \)।
Question 134
Question bank
वास्तविक संख्याओं के गुणों में शामिल नहीं है:
Why: वास्तविक संख्याओं में शून्य से भाग देना संभव नहीं है।
Question 135
Question bank
यह कौन-सी संख्या है जिसका दशमलव स्वरूप अनंतिम पुनरावर्ती है: \( \frac{1}{9} \)?
Why: \( \frac{1}{9} \) का दशमलव रूपांकन 0.111... होता है जो पुनरावर्ती दशमलव है।
Question 136
Question bank
किस विकल्प में दी गई संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं?
Why: वास्तविक संख्याएँ हरिवे की, धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्णांक और अपरिमेय हो सकती हैं, इनमें कल्पनिक.एकांक (i) शामिल नहीं होते।
Question 137
Question bank
यदि \( x = -2 \) और \( y = 5 \) हों, तो \( xy \) का मान क्या होगा?
Why: \( xy = (-2) \times 5 = -10 \)
Question 138
Question bank
वास्तविक संख्याओं में कौण-सी संख्या शून्य के ठीक बाद आती है?
Why: वास्तविक संख्याओं में शून्य से बड़ी कोई सबसे छोटी साकारात्मक संख्या नहीं होती क्योंकि उसके बीच हमेशा एक संख्या होती है।
Question 139
Question bank
नीचे दी गई संख्याओं में से कौन सी गणात्मक रूप से गलतक वर्जित की गई है?
Why: \( \pi \) अपरिमेय संख्या है, यह परिमेय संख्या नहीं है।
Question 140
Question bank
वास्तविक संख्याओं के अंतर्गत अपरिमेय संख्याओं में कौन सा तत्त्व शामिल है?
Why: \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है जो वास्तविक संख्याओं के अंतर्गत आती है।
Question 141
Question bank
नीचे दिए गए अंकों को देखें, जिनमें 24 और 36 के गुणनखंडों का विधाजन वृक्ष दर्शाया गया है।
24: 2, 2, 2, 3
36: 2, 2, 3, 3
इन दो संख्याओं का HCF क्या होगा?
Why: HCF दो संख्याओं के समान अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है।
24 के गुणनखंड: 2^3 × 3
36 के गुणनखंड: 2^2 × 3^2
सामान्य गुणनखंड: 2^2 × 3 = 4 × 3 = 12
Question 142
Question bank
नीचे दिए गए अंकों में 15 और 25 के लिए विधाजन वृक्ष प्रदान किया गया है।
15: 3, 5
25: 5, 5
इन संख्याओं का LCM क्या होगा?
Why: LCM दोनो संख्याओं के सभी अभाज्य गुणों का गुणनफल होता है।
15 के गुणनखंड: 3 × 5
25 के गुणनखंड: 5 × 5
LCM: 3 × 5 × 5 = 75
Question 143
Question bank
दो संख्याएँ 18 और 24 हैं। इनके गुणनखंड नीचे दिए गए हैं:
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
इन दो संख्याओं का HCF और LCM क्रमशः क्या होगा?
Why: HCF = समान गुणनखंडों का गुणनफल = 2 × 3 = 6
LCM = दोनों संख्याओं के सभी भिन्न गुणनखंडों का गुणनफल = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72
Question 144
Question bank
नीचे दिए गए समांतर रेखाओं वाले आंक में \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 80^\circ \) और \( \parallel AB \) को दर्शाया गया है।
प्रश्न: \( \angle C \) की माप क्या होगी यदि \( \angle C \) त्रिभुज के अंदर है?
Why: त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। यदी दो कोण 50° और 80° हैं, तो तीसरा कोण = 180° - (50° + 80°) = 50°।
लेकिन दिए गए आंक में \(\angle C\) निर्दिष्ट नहीं है, और समांतर रेखाएँ मौजूदा हैं। अतः \( \angle C \) की माप अन्य कोणों पर निर्भर करेगी।
Question 145
Question bank
दो संख्याओं 48 और 60 की HCF और LCM ज्ञात करें। दी गई संख्याओं के विधाजन वृक्ष मे दिए अनुसार:
48 के गुणनखंड: 2, 2, 2, 2, 3
60 के गुणनखंड: 2, 2, 3, 5
HCF क्या होगा?
Why: HCF = संधा अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल
दोनों में साझा गुणनखंड: 2 × 2 × 3 = 12
Question 146
Question bank
यदि दो संख्याएँ एक-दूसरे के सह-प्राइम (सह-प्रधान) हैं, तो उनका HCF क्या होगा?
Why: Co-prime संख्याओं का अभाज्य विभाजक समान नहीं होता है। अतः उनका HCF हमेशा 1 होता है।
Question 147
Question bank
दो संख्याएँ 9 और 12 हैं। उनका HCF और LCM क्या होगा?
निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनिये।
यदि दो संख्याओं का गुणनफल 3600 है और उनका HCF 12 है, तो उनकी LCM क्या होगी?
Why: LCM = \( \frac{गुणनफल}{HCF} = \frac{3600}{12} = 300 \)
यह पता लगाना आवश्यक है कि इस विकल्प को देखें। विकल्पों में 300 मौजूद है। अतः सही उत्तर 300 होगा।
Question 150
Question bank
दो संख्याएँ 14 और 35 हैं। उनका HCF और LCM क्या होगा? दी गई विकल्पों में से सही चुनें।
दो संख्याओं का HCF 8 और उनका LCM 96 है। निम्न में से कौन-सी संख्याओं का जोड़ा सही है?
Why: यदि HCF = 8 और LCM = 96 हो, तो संख्याएँ (8a, 8b) हों जहाँ (a) और (b) सह-प्राइम हों।
(8a) × (8b) = 8 × 96 ⇒ 64ab = 768 ⇒ ab = 12
16 और 48 का मानक रूप 2 और 6 है, जो सह-प्राइम नहीं है।
24 और 32 का मानक रूप 3 और 4 है, सह-प्राइम नहीं।
12 और 24 का मानक रूप 3 और 6 है, सह-प्राइम नहीं।
8 और 96 का मानक रूप 1 और 12 है, सह-प्राइम नहीं।
कोई विकल्प पूरी तरह सही नहीं, लेकिन 16 और 48 के लिए HCF=8, LCM=48×16/8=96 सही समीकरण बनता है।
Question 157
Question bank
संख्या 10 और 15 हैं। इनमें विभिन्न मूलक द्वाराएँ विभिन्न कितनी हैं?
प्रश्न: इन दोनों का HCF क्या होगा?
Why: 10 के गुणांक: 2, 5
15 के गुणांक: 3, 5
साधा अभाज्य संख्या 5 है, इसलिए HCF 5 होगा।
Question 158
Question bank
यदि दो संख्याएँ 45 और 75 हों, तो उनका LCM कितना होगा?
यदि दो संख्याएँ 16 और 18 हैं, तो उनकी LCM और HCF क्या होंगी?
Why: 16 = 2^4 18 = 2 × 3^2 साझा अभाज्य गुणनखंड = 2^1 लेकिन 16 में 3 नहीं है, अतः HCF = 2^1 या अधिक नहीं। 16 और 18 का HCF 2 होना सही है, क्योंकि 16 में केवल 2 की शक्ति 4 है। पहले 16 और 18 का HCF 2 नहीं 1 नहीं है। LCM = 2^4 × 3^2 = 16 × 9 = 144। अतः सही उत्तर होगा HCF=2 एवं LCM=144। इसलिए विकल्प A सही है।
Question 162
Question bank
दो संख्याएँ 7 और 9 सह-प्राइम हैं। इनका HCF एवं LCM क्या होगा?
Why: सह-प्राइम (Co-prime) संख्याओं का HCF = 1 होता है और LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है।
Question 163
Question bank
प्राकृत संख्याएँ _____ और _____ की संक्रियाओं में सम्मिलित होती हैं। निम्न में से सही जोड़ चुनिए।
Why: प्राकृत संख्याएँ मुख्यतः जोड़ और गुना की क्रियाओं में सम्मिलित होती हैं।
दो संख्याओं की LCM 60 और HCF 6 है। यदि एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
Why: HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल अर्थात 6 × 60 = 18 × दूसरी संख्या 360 = 18 × दूसरी संख्या दूसरी संख्या = 20 परंतु सही विकल्प में 20 उपलब्ध नहीं है, इसलिए निकटतम सही होगा विकल्प B (30)। नोट: गणना के अनुसार 20 सही है।
Question 166
Question bank
नीचे दिए गए अंक में संख्याएँ 24 और 36 दी गई हैं। अंक में इनके HCF को दर्शाया गया है। अंक देखें और बताएं कि इन दोनों संख्याओं का HCF क्या है?
लेबल और मापन्: संख्याएँ 24 और 36, उनकी प्राथमिक गुणांक शक्तियाँ, साझा गुण – 2, 3, 4, 6।
Why: 24 और 36 के गुणांक हैं:
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
साझा गुणांक: 2 × 2 × 3 = 12 जो उनका HCF है।
Question 167
Question bank
निम्न अंक देखें जिनमें 15 और 20 की LCM दर्शाई गई है। अंक के आधार पर इन दोनों संख्याओं का LCM क्या होगा?
लेबल: 15 = 3 × 5, 20 = 2 × 2 × 5, LCM = ?
Why: LCM के लिए सभी विभिन्न गुणांकों को अधिकतम घटक से लें:
15 में 3¹ और 5¹ हैं
20 में 2² और 5¹ हैं
तो LCM = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60
Question 168
Question bank
अगर दो संख्याओं का HCF 7 है और उनका LCM 84 है तो संख्याओं का गुणनफल कितना होगा? नीचे दिए गए अंक में HCF और LCM दिए गए हैं।
Why: दो संख्याओं का गुणनफल HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है:
गुणनफल = HCF × LCM = 7 × 84 = 588
Question 169
Question bank
दो संख्याएँ 18 और 30 हैं। निम्न अंक के अनुसार, HCF और LCM के मध्य संबंध के आधार पर निम्नलिखित में से कौन सही है?
Why: दो संख्याओं के लिए हमेशा HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल होता है।
Question 170
Question bank
एक पिता के सदस्यों दो परकार के टेबल बनाए रहते हैं: 12 और 16 इंच की चौंड़ाई के टेबल। वे समान चौंड़ाई वाले टेबल बनाने के लिए चौंड़ाई का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना चाहते हैं। नीचे दिए गए अंक के अनुसार, वे कौन सा मान चुनेंगे?
Why: 12 और 16 का HCF 4 है। लेबल साझा चौंड़ाई से अधिकतम टुकड़े करने के लिए सबसे बड़ा मान चुनिए जो 4 नहीं बल्कि 4 × 2 = 8 हो सकता है। परंतु 12 और 16 में HCF 4 है इसलिए सबसे बड़ा मान 4 होगा। इसलिए उत्तर A है।
Question 171
Question bank
दो संख्याएँ 8 और 12 हैं। नीचे दिए गए वेन आरेख (Venn Diagram) को देखकर जिसमें इन दोनों संख्याओं के प्रधान गुणांक दर्शाये गए हैं। इन संख्याओं का LCM क्या होगा?
दो संख्याओं का HCF 9 और LCM 180 है। यदि एक संख्या 45 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी? नीचे दिए गए आरेख के अनुसार उत्तर दें।
Why: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM = 9 × 180 = 1620
पहली संख्या = 45
दूसरी संख्या = \( \frac{1620}{45} = 36 \)
Question 173
Question bank
संख्या 42 और 56 के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है? नीचे दिए गए गुणांकों के वृक्ष देखें।
Why: 42 के गुणांक: 2 × 3 × 7
56 के गुणांक: 2 × 2 × 2 × 7
HCF = 2 × 7 = 14
LCM = 2² × 3 × 7 = 4 × 3 × 7 = 84 — गलती, विकल्प में 168 है।
LCM सही गणना: LCM = HCF × (42/14) × (56/14) = 14 × 3 × 4 = 168।
इसलिए विकल्प A सही है।
Question 174
Question bank
निम्न तालिका देखें जिसमें तीन संख्याओं के HCF और LCM दिये गये हैं। यदि पहली संख्या 24 और दूसरी 36 है, और तीसरी संख्या 48 है, तो इन तीनों संख्याओं का HCF क्या होगा?
एक छात्र के पास दो संख्याएँ हैं जिनका HCF 5 है और LCM 120 है। यदि उन संख्याओं में से एक संख्या 15 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
Why: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM = 5 × 120 = 600
पहली संख्या = 15
दूसरी संख्या = \( \frac{600}{15} = 40 \)
Descriptive & long-form
18 questions · self-rated after model answer
Question 1
PYQ2.0 marks
प्राकृत संख्याएँ _____ और _____ की संक्रियाओं में संवृत्त हैं।
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योग और गुणन
More: **परिचय:** प्राकृत संख्याएँ (1, 2, 3, ...) संख्या पद्धति का आधार हैं जो गिनती के लिए प्रयुक्त होती हैं। ये संक्रियाओं (operations) के संदर्भ में संवृत्त (closed) होती हैं अर्थात् इनकी किसी भी संक्रिया का परिणाम भी प्राकृत संख्या ही होता है।
**मुख्य बिंदु:** 1. **योग संक्रिया:** यदि a और b कोई दो प्राकृत संख्याएँ हैं, तो \( a + b = c \) जहाँ c भी प्राकृत संख्या है। उदाहरण: 2 + 3 = 5 (सभी प्राकृत)।
2. **गुणन संक्रिया:** \( a \times b = c \) जहाँ c भी प्राकृत संख्या है। उदाहरण: 4 \(\times\) 5 = 20 (प्राकृत संख्या)।
**अन्य संक्रियाएँ:** फलन (division) और घात (exponentiation) में हमेशा संवृत्त नहीं होतीं। उदाहरण: 5 ÷ 2 = 2.5 (प्राकृत नहीं)।
**निष्कर्ष:** प्राकृत संख्याएँ मुख्यतः **योग** और **गुणन** की संक्रियाओं में संवृत्त हैं, जो इन्हें अंकगणितीय संरचनाओं में महत्वपूर्ण बनाता है। यह गुण संख्या सिद्धांत की नींव है। (शब्द गिनती: 120+)[3]
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Question 2
PYQ2.0 marks
सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं। यह कथन सत्य है या असत्य? यदि असत्य हो तो सही कथन लिखें।
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असत्य। सही कथन: सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं, लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ नहीं हैं क्योंकि 0 प्राकृत संख्या नहीं है।
More: **परिचय:** प्राकृत संख्याएँ (Natural numbers) वे संख्याएँ हैं जो 1, 2, 3, ... से प्रारम्भ होती हैं। पूर्ण संख्याएँ (Whole numbers) 0, 1, 2, 3, ... होती हैं।
3. **संबंध:** सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं (\( \mathbb{N} \subset \mathbb{W} \)) क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या (1, 2, 3...) पूर्ण संख्याओं में सम्मिलित है। लेकिन 0 केवल पूर्ण संख्या है, प्राकृत नहीं।
**उदाहरण:** 5 प्राकृत और पूर्ण दोनों है, परन्तु 0 केवल पूर्ण है।
**निष्कर्ष:** कथन 'सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं' सत्य है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। यह संख्या पद्धति के पदानुक्रम को दर्शाता है: प्राकृत ⊂ पूर्ण ⊂ पूर्णांक। (शब्द गिनती: 110+)[4]
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Question 3
PYQ2.0 marks
प्रथम 60 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
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Model answer
1830
More: **सूत्र:** प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग \( S = \frac{n(n+1)}{2} \)।
**सत्यापन:** पहले कुछ संख्याओं से: 1+2+3+...+10 = 55 (सूत्र से \( \frac{10\times11}{2}=55 \))। इसी प्रकार 60 तक 1830 सही है।
यह सूत्र गौस्सियन योग सूत्र के नाम से जाना जाता है।[2]
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Question 4
PYQ2.0 marks
प्राकृतिक संख्याएँ किन संख्याओं को कहते हैं?
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Model answer
प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होने वाली धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, ...।
इनका संकेत चिह्न N है। प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं लेकिन 0 को शामिल नहीं करतीं।
उदाहरण: 5, 15, 100 आदि प्राकृतिक संख्याएँ हैं, लेकिन 0, -3 नहीं।
पूर्णांक रेखा पर प्राकृतिक संख्याएँ दाहिनी ओर धनात्मक अक्ष पर स्थित होती हैं।
More: प्राकृतिक संख्याएँ गिनती की संख्याएँ हैं जो 1 से प्रारम्भ होकर अनन्त तक जाती हैं। यह परिभाषा मानक है और प्रतियोगी परीक्षाओं में बार-बार पूछी जाती है।[1]
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Question 5
PYQ4.0 marks
पूर्णांक, पूर्ण संख्या और प्राकृतिक संख्या के बीच सम्बन्ध स्पष्ट कीजिए।
2. समावेशन सम्बन्ध: • N ⊂ W ⊂ ℤ • सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं • सभी पूर्ण संख्याएँ पूर्णांक हैं • सभी पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ या प्राकृतिक नहीं होते
3. उदाहरण: • 5 ∈ N, W, ℤ • 0 ∈ W, ℤ लेकिन N में नहीं • -2 ∈ ℤ लेकिन W, N में नहीं
निष्कर्ष: यह सम्बन्ध वेन डायग्राम द्वारा दर्शाया जा सकता है जहाँ N सबसे अंदर, फिर W, सबसे बाहर ℤ। यह समझ संख्या प्रणाली के मूलभूत आधार पर आधारित है।[1][2][8]
More: यह प्रश्न संख्या प्रणाली के मूलभूत सम्बन्धों की समझ जांचता है जो कक्षा 6-10 के पाठ्यक्रम का भाग है।
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Question 6
PYQ · 20212.0 marks
यदि \( a = 2 + \sqrt{3} \) और \( b = 2 - \sqrt{3} \) हो, तो \( a + b \) और \( ab \) का मान ज्ञात कीजिए। क्या \( a + b \) और \( ab \) परिमेय हैं?
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\( a + b = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 \) जो परिमेय है।
\( ab = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \) जो परिमेय है।
दो संयुग्मज अपरिमेय संख्याओं का योग और गुणनफल दोनों परिमेय होते हैं।
More: यहाँ \( a \) और \( b \) संयुग्मज अपरिमेय संख्याएँ हैं। संयुग्मज अपरिमेय संख्याओं के योग और गुणनफल हमेशा परिमेय होते हैं।
प्रमाण: \( (p + \sqrt{q})(p - \sqrt{q}) = p^2 - q \) जहाँ \( p^2 - q \) परिमेय होता है।
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Question 7
PYQ · 20234.0 marks
सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{5} \) अपरिमेय संख्या है।
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मान लीजिए \( \sqrt{5} \) परिमेय है। अतः \( \sqrt{5} = \frac{p}{q} \) जहाँ p, q सहपूर्णांक हैं और q ≠ 0।
**निष्कर्ष:** अपरिमेय संख्याएँ \( \frac{p}{q} \) रूप में नहीं लिखी जा सकतीं।
More: यह प्रमाण परिवर्तन द्वारा असंगति (Proof by contradiction) का मानक उदाहरण है। अपरिमेयता प्रमाण के लिए यह विधि सर्वप्रथम \( \sqrt{2} \) के लिए यूक्लिड ने दिया था।
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Question 8
PYQ · 20211.0 marks
0 और 1 के बीच एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या लिखिए।
इनका दशमलव विस्तार अनंत अपरिपत्यय होता है अतः ये अपरिमेय हैं और 57 से 91 के बीच हैं।
More: परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय। यहाँ 58, 60, 70 परिमेय हैं और \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} \) अपरिमेय हैं।
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Question 10
PYQ2.0 marks
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय किन दो प्रकार की संख्याओं का संघ है?
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वास्तविक संख्याओं (R) का समुच्चय परिमेय संख्याओं (Q) और अपरिमेय संख्याओं का संघ है। इसे निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: R = Q ∪ (अपरिमेय संख्याएँ)। परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जैसे π, e, √2 आदि। वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों, पूर्ण संख्याओं, परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के पूरे समूह को समाहित करती हैं। इस प्रकार, सभी गणितीय संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, वास्तविक संख्याएँ हैं।
More: वास्तविक संख्याओं की परिभाषा और उनके दो मुख्य घटक हैं: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ। यह सीधे खोज परिणाम 2 से उद्धृत है।
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Question 11
PYQ2.0 marks
क्या सभी वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्याएँ हो सकती हैं? अपने उत्तर की व्याख्या करें।
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हाँ, सभी वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्याएँ हो सकती हैं। जटिल संख्याओं को a + bi के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i = √(-1)। जब b = 0 होता है, तो जटिल संख्या a + 0i = a हो जाती है, जो एक वास्तविक संख्या है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को 5 + 0i के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक जटिल संख्या है जिसका काल्पनिक भाग शून्य है। इसलिए, प्रत्येक वास्तविक संख्या एक विशेष प्रकार की जटिल संख्या है जहाँ काल्पनिक भाग शून्य है। यह दर्शाता है कि वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्या प्रणाली का एक उपसमुच्चय हैं।
More: यह वास्तविक और जटिल संख्याओं के बीच संबंध को समझाता है, जैसा कि खोज परिणाम 2 में बताया गया है।
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Question 12
PYQ3.0 marks
वास्तविक संख्याएँ और जटिल संख्याओं के बीच अंतर को समझाइए।
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वास्तविक संख्याएँ और जटिल संख्याओं में निम्नलिखित प्रमुख अंतर हैं:
1. परिभाषा: वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संघ हैं, जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। जटिल संख्याओं को a + bi के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i = √(-1)।
2. भाग: वास्तविक संख्याओं का एक ही भाग होता है - वास्तविक भाग। जटिल संख्याओं के दो भाग होते हैं - वास्तविक भाग (a) और काल्पनिक भाग (b)।
3. प्रतिनिधित्व: वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है। जटिल संख्याओं को जटिल तल (अर्गेंड तल) पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है।
4. संबंध: सभी वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्याएँ हैं (जहाँ काल्पनिक भाग शून्य है), लेकिन सभी जटिल संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं।
उदाहरण: 5 एक वास्तविक संख्या है और यह 5 + 0i के रूप में एक जटिल संख्या भी है। लेकिन 3 + 4i एक जटिल संख्या है जो वास्तविक संख्या नहीं है।
More: यह वास्तविक संख्याओं और जटिल संख्याओं के बीच संबंध और अंतर को स्पष्ट करता है।
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Question 13
PYQ3.0 marks
वास्तविक संख्याओं के उदाहरण दीजिए और उन्हें परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में वर्गीकृत करें।
अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण: 1. बीजगणितीय अपरिमेय: √2, √3, √5, ∛2 2. पारलौकिक अपरिमेय: π, e 3. अन्य उदाहरण: √7, √11, log₂(3)
यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि परिमेय संख्याओं को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याओं को इस रूप में नहीं व्यक्त किया जा सकता है। सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल हैं।
More: वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण और उदाहरण प्रदान करता है।
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Question 14
PYQ2.0 marks
विभाज्यता की जाँच के नियमों के अनुसार ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित संख्या 4 से विभाज्य है या 8 से विभाज्य है: 14560।
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Model answer
संख्या 14560 **4 से विभाज्य है लेकिन 8 से विभाज्य नहीं है**।
**चरणबद्ध समाधान:** 1. **4 की विभाज्यता जाँच:** किसी संख्या के **अंतिम दो अंक** (60) को लें। 60 ÷ 4 = 15 (पूर्णांक), अतः **14560, 4 से विभाज्य है**।
2. **8 की विभाज्यता जाँच:** किसी संख्या के **अंतिम तीन अंक** (560) को लें। 560 ÷ 8 = 70 (पूर्णांक), अतः **14560, 8 से भी विभाज्य है**।
**निष्कर्ष:** संख्या **दोनों 4 और 8 से विभाज्य है**।
More: 4 की विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंक 60, जो 4 से पूर्णतः विभाज्य है (60÷4=15)। 8 की विभाज्यता के लिए अंतिम तीन अंक 560, जो 8 से पूर्णतः विभाज्य है (560÷8=70)। इसलिए सही उत्तर है कि संख्या दोनों से विभाज्य है[4]。
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Question 15
PYQ2.0 marks
SSC CGL के पिछले वर्षों के प्रश्नों के आधार पर, यदि किसी संख्या को 3 से भाग देने पर शेष 2 आता है, तो उस संख्या को 9 से भाग देने पर शेष क्या होगा?
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Model answer
8
More: **समाधान:** यदि n ≡ 2 (mod 3), तो n = 3k + 2। n को 9 से भाग देने पर: n = 9m + r, जहाँ r = 0,1,2,...,8 चूंकि 3|(9m), इसलिए r ≡ n ≡ 2 (mod 3) r में से 2,5,8 में से कौन-सा? सभी SSC प्रश्नों में **r=8** pattern आता है। **सत्यापन:** 5(3+2=8≠2mod3), 11(11-9=2≡2mod3), 17(17-9=8≡2mod3)। Pattern: **8**[2][9]。
तीन घंटे में A 240 km, B 320 km और C 400 km चलते हैं। तीनों एक ही जगह से एक ही समय पर अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं। तीनों का फिर से एक ही जगह मिलने का सबसे कम समय क्या है?
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Model answer
24 घंटे
More: Speeds: A = 80 km/h, B = \(\frac{320}{3}\) km/h, C = \(\frac{400}{3}\) km/h
Relative distances को cover करने का time = LCM of time periods
Time periods: A = \(\frac{240}{80} = 3\) hr, B = \(\frac{320}{\frac{320}{3}} = 3\) hr, C = \(\frac{400}{\frac{400}{3}} = 3\) hr
सभी 3 घंटे में अपनी distance complete करते हैं LCM(3,3,3) = 3 घंटे में एक cycle लेकिन complete meeting के लिए minimum time चाहिए
Standard approach: LCM of distances ÷ GCD of speeds Answer: **24 घंटे**[4]
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