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संख्या एवं अंकगणित के अति महत्वपूर्ण विषय LCM (Least Common Multiple - न्यूनतम समापवर्तक) और HCF (Highest Common Factor - महत्तम समभागक) से परिचय। प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर दो या दो से अधिक पूर्णांकों के LCM एवं HCF का निर्धारण करना आवश्यक होता है। इससे संबंधित अवधारणाएँ न केवल गणना प्रक्रिया को सरल बनाती हैं, बल्कि द्वैत संख्याओं के गुणधर्मों को समझने का सशक्त माध्यम भी प्रदान करती हैं।
दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो उन सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाता है। सरल शब्दों में, LCM उन संख्याओं के सामान्य गुणा में सबसे कम मान है।
| संख्या | गुणा फल | सामान्य गुणा |
|---|---|---|
| 4 | 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... | 12 |
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... |
यहाँ 4 और 6 के गुणा फल 12 में समान है, अतः LCM(4,6) = 12।
दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो उन सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करता हो। इसे महत्तम समभागक या Greatest Common Divisor (GCD) भी कहते हैं।
| संख्या | भागक | सामान्य भागक |
|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 |
इन दोनों संख्याओं का HCF 6 है क्योंकि 6 दोनों में से बड़ा समान भागक है।
LCM और HCF की गणना के मुख्यतः तीन प्रभावी तरीके हैं, जो नीचे विस्तार से समझाए गए हैं।
प्राइम फैक्टराइजेशन (प्रधान गुणनखंडन) वह प्रक्रिया है जिसमें किसी संख्या को ऐसे अभाज्य संख्याओं के गुणा के रूप में लिखा जाता है।
graph TD A[संख्या] --> B{क्या संख्या अभाज्य है?} B -- हाँ --> C[इसे प्राइम फैक्टर मानो] B -- नहीं --> D[संख्या को दो अभाज्य अंशों में विभाजित करो] D --> Aउदाहरण: 36 = 2² x 3²
दो संख्याओं के प्राइम फैक्टर मिलने के बाद,
उदाहरण के लिए,
12 = 2² x 3¹ और 18 = 2¹ x 3²
यह एक प्राचीन और प्रभावी तरीका है जो दो पूर्णांकों के HCF को खोजने के लिए प्रयोग किया जाता है, जिसका आधार भाग शेष विधि (Division Algorithm) है।
graph TD Start[दो पूर्णांक a, b लें (a > b)] --> Step1[कदम 1: a को b से भाग दें] Step1 --> Step2[शेषफल r निकालें] Step2 --> Decision{अगर r=0 है?} Decision -- हाँ --> Result[HCF = b] Decision -- नहीं --> Step3[a = b, b = r] Step3 --> Step1इस विधि से HCF तीव्रता से ज्ञात किया जा सकता है बिना संख्याओं का पूर्ण गुणनखंडन किए।
यह विधि संख्याओं के आपसी भाजकों और गुणकों का उपयोग कर संक्षिप्त रूप में LCM और HCF खोजने हेतु होती है। विशेष रूप से दो संख्याओं के गुणा का प्रयोग करके, जो कि नीचे समझाया गया है।
LCM और HCF के बीच निम्नलिखित गहरा संबंध है जो विभाजन एवं गुणा के नियमों का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।
| धारणा | उदाहरण |
|---|---|
| दो संख्याओं a और b के लिए \[ a \times b = \mathrm{HCF}(a,b) \times \mathrm{LCM}(a,b) \] | a=12, b=18 HCF=6, LCM=36 \( 12 \times 18 = 216 \) \( 6 \times 36 = 216 \) |
चरण 1: 12 का प्राइम फैक्टराइजेशन करें।
12 = 2² x 3
चरण 2: 18 का प्राइम फैक्टराइजेशन करें।
18 = 2 x 3²
चरण 3: LCM ज्ञात करें: प्राइम फैक्टर को अधिकतम घातों के साथ लें।
LCM = 2² x 3² = 4 x 9 = 36
चरण 4: HCF ज्ञात करें: प्राइम फैक्टर को न्यूनतम घातों के साथ लें।
HCF = 2¹ x 3¹ = 2 x 3 = 6
उत्तर: LCM = 36, HCF = 6
चरण 1: बड़ा पूर्णांक 252 को 105 से भाग दें।
252 / 105 = 2 शेष 42
चरण 2: अब 105 को 42 से भाग दें।
105 / 42 = 2 शेष 21
चरण 3: 42 को 21 से भाग दें।
42 / 21 = 2 शेष 0
शेष शून्य होने पर अंतिम भाजक 21 HCF होगा।
उत्तर: HCF(252, 105) = 21
चरण 1: सूत्र लगाएँ: \( a \times b = \mathrm{HCF}(a,b) \times \mathrm{LCM}(a,b) \)
चरण 2: संख्याएँ और HCF लगाएँ।
36 x 48 = 12 x LCM
1728 = 12 x LCM
चरण 3: LCM निकालें।
LCM = \frac{1728}{12} = 144
उत्तर: LCM = 144
चरण 1: सूत्र का प्रयोग करें।
a \times b = HCF \times LCM
21 \times b = 7 \times 84
21b = 588
चरण 2: b निकालें।
b = \frac{588}{21} = 28
उत्तर: b = 28
चरण 1: मान लें दोनों संख्याएँ x और y हैं।
मध्य मान 35 => \(\frac{x + y}{2} = 35 \Rightarrow x + y = 70\)
चरण 2: दिया गया अंतर 14 है।
|x - y| = 14
चरण 3: x और y को हल करें।
x + y = 70
x - y = 14 (मान लेते हैं x > y)
दोनों समीकरणों को जोड़ें,
2x = 84 \Rightarrow x = 42
x + y = 70 \Rightarrow 42 + y = 70 \Rightarrow y = 28
चरण 4: HCF जांचें।
HCF(42, 28) = 14, पर प्रश्न में HCF दिया 7 है। अतः संख्याएँ 42 और 28 सही उत्तर नहीं।
चरण 5: दोनों संख्याओं को HCF 7 से गुणा करें:
42/7 = 6 और 28/7 = 4 के बीच अंतर 2 है, प्रश्न में अंतर 14 है।
अर्थात, मूल संख्याएँ 7 x 6 = 42 और 7 x 8 = 56 (अंतर 14)। मध्य मान= \(\frac{42+56}{2} = 49 eq 35\)।
निष्कर्ष: पहले मध्य मान 35 का अर्थ प्रश्न में केवल दी हुई सूचना से नहीं निकाला जा सकता; अतः समीकरण पुनः जांचें।
सही समाधान: यदि HCF 7 है, तो संख्याएँ 7a और 7b हैं, जहाँ a और b सहाभाज्य (कोई समान भाजक नहीं) होंगे।
(7a + 7b)/2 = 35 \Rightarrow 7(a + b)/2 = 35 \Rightarrow a + b = 10
अंतर 14 है, अर्थात 7|a - b| = 14 \Rightarrow |a - b| = 2
अब,
a + b = 10
|a - b| = 2
दोनों को जोड़ें:
2a = 12 \Rightarrow a = 6
b = 10 - 6 = 4
अतः संख्याएँ हैं 7 x 6 = 42 और 7 x 4 = 28।
उत्तर: 42 और 28
When to use: किसी भी दो संख्याओं के LCM या HCF निकालते समय।
When to use: जब संख्याएँ बहुत बड़ी हों और प्रश्न जल्दी हल करना हो।
When to use: जब LCM, HCF में से किसी एक का मान पता हो और संख्याओं में से एक काट करें।
When to use: त्रुटिपूर्ण विकल्पों से बचने के लिए।
When to use: जब किसी विकल्प के बारे में निर्धारित करना हो कि वह LCM हो सकता है या नहीं।
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