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संख्या एवं अंकगणित में अनुपात (Ratio) और समानुपात (Proportion) दो अत्यंत महत्वपूर्ण विषय हैं, जिनका उपयोग विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रश्नों को हल करने के लिए होता है। अनुपात दो मात्राओं के बीच की तुलना बताता है, जबकि समानुपात ऐसी स्थिति को कहते हैं जब दो अनुपात बराबर होते हैं।
इस खंड में हम अनुपात एवं समानुपात के मूलभूत सिद्धांतों से शुरू करके उनके व्यावहारिक उपयोग तक विस्तारपूर्वक अध्ययन करेंगे। इनके साथ ही महत्वपूर्ण सूत्रों, उदाहरणों, और परीक्षा में आने वाले प्रश्नों के हल की तकनीकों पर चर्चा की जाएगी।
व्यावहारिक उदाहरण के लिए, यदि एक बालक और बालिका की संख्या क्रमशः 8 और 12 हो, तो उनकी संख्या का अनुपात होगा 8:12, जिसे सरलीकृत करके 2:3 किया जा सकता है।
अनुपात की व्यापक समझ के लिए निम्न चित्र सहायता करेगा:
इस आरेख में दो आयताकार ब्लॉकों के रंग और आकार अनुपात में भिन्न हैं। यहाँ \(a\) और \(b\) के मान और अनुपात दर्शाए गए हैं।
अनुपात को सबसे सरल रूप में व्यक्त करने के लिए उसकी गणना दोनों संख्या के महत्तम समापवर्तक (GCD - Greatest Common Divisor) से भाग देकर किया जाता है:
यह नियम अनुपात के सरलीकरण के लिए सर्वाधिक प्रभावी है।
यह समीकरण समानुपात की मूलभूत पहचान है, जिसका अर्थ है क्रॉस गुणा बराबर होना।
निम्न Mermaid डायग्राम समानुपात को चरणबद्ध रूप में दिखाता है:
graph TD A[दो अनुपात लें a:b और c:d] B{क्या a:b = c:d?} B -- हाँ --> C[क्रॉस गुणा: ad = bc] B -- नहीं --> D[समानुपात नहीं] C --> E[समाधान करना आसान]| सूत्र | व्याख्या | परिभाषा |
|---|---|---|
| \(a : b = \frac{a \div \gcd(a,b)}{b \div \gcd(a,b)}\) | अनुपात का सरलीकरण | जहाँ \(a,b\) कोई दो संख्या हों; \(\gcd(a,b)\) उनका महत्तम समापवर्तक है। |
| \(a : b = c : d \Rightarrow ad = bc\) | समानुपात की पहचान | जब दो अनुपात बराबर होते हैं, क्रॉस गुणा बराबर होता है। |
| \(a : b = c : d \Rightarrow d = \frac{b \times c}{a}\) | समानुपात से unknown मान निकालना | चार संख्याओं में से किसी एक का मान ज्ञात करना। |
अनुपात और समानुपात की समस्याएँ विभिन्न प्रकार की होती हैं, जैसे कि सरल अनुपात, मिश्र अनुपात, और असंपीडित अनुपात। यहाँ हम समस्या समाधान की रणनीतियाँ प्रस्तुत करते हैं:
इन सभी प्रकारों में सिद्धांत समानुपात के सूत्रों का प्रयोग कर प्रस्तुत करते हुए हल निकालते हैं।
Step 1: अनुपात है \(a : b = 3 : 4\)। दिया गया है \(a = 9\)।
Step 2: अनुपात के अनुसार, \(\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\)।
Step 3: \(b\) के लिए समीकरण बनाएं:
\[ \frac{9}{b} = \frac{3}{4} \implies 9 \times 4 = 3 \times b \implies 36 = 3b \]
Step 4: \(b\) निकालें:
\[ b = \frac{36}{3} = 12 \]
Answer: \(b = 12\)।
Step 1: समीकरण \(5 : x = 15 : 24\) है।
Step 2: समानुपात के गुण को लागू करें, \(5 \times 24 = 15 \times x\)।
Step 3: गणना करें:
\[ 120 = 15x \implies x = \frac{120}{15} = 8 \]
Answer: \(x = 8\)।
Step 1: अनुपात दें: \(2 : 3 : 5\)। कुल राशि = 150।
Step 2: प्रत्येक भाग की राशि निकालें। अनुपात का योग:
\[ 2 + 3 + 5 = 10 \]
Step 3: कुल राशि को भागों में बाटें:
प्रति भाग राशि होगी \(\frac{150}{10} = 15\)।
Step 4: पहली राशि:
\[ 2 \times 15 = 30 \]
तीसरी राशि:
\[ 5 \times 15 = 75 \]
Step 5: पहली और तीसरी राशियों का योग:
\[ 30 + 75 = 105 \]
Answer: योग = 105।
Step 1: पूर्णांक \(24\) और \(36\) का \(\gcd\) निकालें।
Step 2: \(\gcd(24, 36) = 12\)।
Step 3: दोनों संख्याओं को 12 से भाग करें:
\[ \frac{24}{12} : \frac{36}{12} = 2 : 3 \]
Answer: सरलीकृत अनुपात \(2 : 3\)।
Step 1: दो अनुपात हैं \(7 : 14\) और \(3 : 6\)।
Step 2: समानुपात के लिए क्रॉस गुणा करें:
\[ 7 \times 6 = 42, \quad 14 \times 3 = 42 \]
Step 3: दोनों क्रॉस गुणा समान हैं, अतः \(7:14 = 3:6\)।
Answer: हाँ, ये अनुपात समानुपात हैं क्योंकि \(ad = bc\)।
When to use: किसी भी अनुपात को सबसे सरल रूप में व्यक्त करने के लिए।
When to use: दो अनुपातों के समानुपात होने की पुष्टि के लिए।
When to use: तीन या अधिक संख्या के अनुपातों पर आधारित प्रश्नों में।
When to use: परीक्षा में अज्ञात संख्या के लिए तेज़ समाधान चाहिए।
When to use: जब विकल्प उल्टे अनुपातों से संबंधित हों।
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