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गणित में, छूट (remainder) वह शेष भाग होता है जो किसी संख्या को दूसरे संख्या से भाग देने पर बच जाता है। इसे समझने के लिए सबसे पहले हम भागफल (quotient) और भागांतरे (dividend) तथा भागकर्ता (divisor) की अवधारणाएँ समझेंगे।
उदाहरण के रूप में, यदि 125 को 7 से भाग दिया जाता है, तो 125 का 7 से भाग देने पर:
क्योंकि \(125 = 7 \times 17 + 6\)।
किसी भी पूर्णांक संख्या \(N\), जब इसे एक धनात्मक पूर्णांक \(d\) से भाग दिया जाता है, तो इसके लिए हमेशा निम्न सूत्र लागू होता है:
जहाँ, \(q\) भागफल है और \(r\) छूट (remainder) है। छूट हमेशा भागकर्ता से छोटी या उससे बराबर होती है, लेकिन कभी भी बराबर नहीं होती।
छूट के नियम अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के संचालन में सहायता करते हैं, विशेषकर जब बड़ी संख्याओं के जोड़ या गुणन से छूट निकालनी हो। मुख्य नियम निम्नलिखित हैं:
यह नियम दर्शाता है कि दो संख्याओं का जोड़ mod \(n\) पर उनके व्यक्तिगत mod \(n\) के जोड़ के mod \(n\) के बराबर होता है।
यह प्रदर्शित करता है कि दो संख्याओं के गुणा का mod \(n\) उनके व्यक्तिगत mod \(n\) के गुणा के mod \(n\) के बराबर होता है।
यह नियम हमें बड़े घातांकों के साथ छूट निकालने की सुविधा देता है, जिससे संख्या को सीधे गुणा का विस्तार करने की आवश्यकता नहीं होती।
चरण 1: भागफल निकालने के लिए 125 को 7 से विभाजित करें।
चरण 2: \(125 \div 7 = 17\) (पूर्णांक भागफल)
चरण 3: छूट निकालें: \(125 - 7 \times 17 = 125 - 119 = 6\)
उत्तर: भागफल = 17, छूट = 6
चरण 1: दोनों संख्याओं का प्रत्येक का mod 13 निकालें।
\(2345 \mod 13 = ?\)
2345 को 13 से भाग देने पर भागफल 180 और शेष 5 होगा क्योंकि \(2345 = 13 \times 180 + 5\)। अतः \(2345 \mod 13=5\)।
\(765 \mod 13 = ?\)
765 को 13 से भाग देने पर शेष 11 होगा क्योंकि \(765 = 13 \times 58 + 11\)। अतः \(765 \mod 13=11\)।
चरण 2: जोड़ का छूट:
\((2345 + 765) \mod 13 = (5 + 11) \mod 13 = 16 \mod 13 = 3\)
चरण 3: गुणा का छूट:
\((2345 \times 765) \mod 13 = (5 \times 11) \mod 13 = 55 \mod 13 = 3\)
उत्तर: जोड़ का छूट 3 और गुणा का छूट 3 है।
चरण 1: पहले \(7 \mod 10\) निकालें।
\(7 \mod 10 = 7\)
चरण 2: इसका पाँचा घात निकालें \(7^5\) और बाद में mod 10 लें, लेकिन सीधे पूर्णांक से करने से बचें।
चरण 3: कदम दर कदम गणना करें:
उत्तर: \((7^5) \mod 10 = 7\)
छूट का महत्व विशेषकर संख्या सिद्धांत (Number Theory) तथा अंकगणितीय प्रमेयों में अत्यंत अधिक है। छात्रों को छूट के गुणों की समझ से बड़े प्रश्नों को छोटे भागों में विभाजित कर हल करना आता है। उदाहरण के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित (Modular Arithmetic) का उपयोग क्रिप्टोग्राफी, कंप्यूटर विज्ञान, और गणितीय सिद्धान्तों में किया जाता है।
चरण 1: 125 को 7 से विभाजित करें।
चरण 2: भागफल = \(125 \div 7 = 17\)
चरण 3: शेष = \(125 - 7 \times 17 = 6\)
उत्तर: भागफल = 17, छूट = 6
चरण 1: \(2345 \mod 13 = 5\) और \(765 \mod 13 = 11\)
चरण 2: जोड़ का शेषफल: \((5 + 11) \mod 13 = 16 \mod 13 = 3\)
चरण 3: गुणा का शेषफल: \((5 \times 11) \mod 13 = 55 \mod 13 = 3\)
उत्तर: दोनों का शेषफल 3 है।
चरण 1: \(7 \mod 10 = 7\)
चरण 2: \(7^2 = 49 \Rightarrow 49 \mod 10 = 9\)
चरण 3: \(7^3 = 9 \times 7 = 63 \Rightarrow 63 \mod 10 = 3\)
चरण 4: \(7^4 = 3 \times 7 = 21 \Rightarrow 21 \mod 10 = 1\)
चरण 5: \(7^5 = 1 \times 7 = 7 \Rightarrow 7 \mod 10 = 7\)
उत्तर: \((7^5) \mod 10 = 7\)
चरण 1: \( 528 \div 9 \) निकालें।
\( 9 \times 58 = 522\)
चरण 2: शेषफल: \(528 - 522 = 6\)
उत्तर: छूट = 6
चरण 1: प्रत्येक संख्या का 11 से छूट निकालिए।
\(98765 \mod 11\)
11 x 8978 = 98758, दृश्यमान शेष = 7
चरण 2: \(4321 \mod 11\)
11 x 392 = 4312, शेष = 9
चरण 3: गुणा का शेषफल = \((7 \times 9) \mod 11 = 63 \mod 11 = 8\)
उत्तर: शेषफल = 8
When to use: छूट के मूल्य की जाँच करते समय हमेशा भागकर्ता से तुलना करके सुनिश्चित करें।
When to use: मॉड्यूलर ऐल्गोरिद्म, क्रिप्टोग्राफी उत्तर देने के लिए।
When to use: बार-बार समान भागकर्ताओं के साथ प्रश्न हल करते हुए।
When to use: बड़ी संख्याओं के जोड़ या गुणा में।
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