Login
OR
Don't worry. We'll fix this for you!
विभाज्यता (Divisibility) का अर्थ है ऐसी विशेषताओं का अध्ययन, जिससे यह चौकस हो सके कि कोई संख्या किसी निश्चित संख्या से पूर्ण रूप से विभाजित होती है या नहीं। सरल शब्दों में, यदि दो संख्याएँ इस प्रकार हों कि पहली संख्या को बिना कोई शेष रखे दूसरी संख्या से भाग दिया जा सके, तो इसे विभाज्यता कहा जाता है। यह गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है, जो वृहत संख्याओं के व्यवहार को समझने में अत्यंत सहायक होती है।
संख्याओं की विभाज्यता की जाँच करने के लिए कुछ सरल नियम निर्धारित किए गए हैं, जो बिना वास्तव में भाग कराए यह निर्धारण कर देते हैं। आइए प्रमुख नियम विस्तार से समझें:
यदि किसी संख्या का अंतिम अंक (इकाइयों का अंक) 0, 2, 4, 6 या 8 हो तो वह संख्या 2 से विभाजित होती है।
यदि किसी संख्या के अंकों के योगफल को 3 से भाग देने पर शेष 0 आता है, तो वह संख्या 3 से विभाजित होती है। उदाहरण के लिए, 123 -> 1+2+3=6 और 6 / 3 का शेष 0 है, अतः 123 3 से विभाजित है।
यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 हो, तो वह संख्या 5 से विभाजित होती है।
कुछ अन्य संख्याओं के लिए भी विभाज्यता के नियम होते हैं, जो थोड़े जटिल परंतु प्रभावी हैं। प्रमुख नियम निम्नलिखित हैं:
संख्या के अंतिम अंक को 2 से गुणा करके बाकी के अंक से घटाएँ। यदि प्राप्त परिणाम संख्या 7 से विभाजित हो, तो मूल संख्या भी 7 से विभाजित होगी। इस प्रक्रिया को जरूरत अनुसार पुनः दोहराएं।
संख्या के अंकों के वैकल्पिक योगफल (बारी-बारी के अंकों का योग एक समूह तथा बचे हुए अंकों का योग दूसरा समूह) को एक-दूसरे से घटाएँ। यदि प्राप्त परिणाम 11 या 11 के गुणनखंड से विभाजित हो, तो संख्या 11 से विभाजित होगी।
अंतिम अंक को 9 से गुणा करें, बाकी अंक से घटा दें। यदि परिणाम 13 से विभाजित होता है तो मूल संख्या भी 13 से विभाजित होती है।
| संख्या | विभाज्यता का नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो | 154 (अंतिम अंक 4 इसलिए विभाज्य) |
| 3 | अंकों का योग 3 का गुणज हो | 123 (1+2+3=6; 6 / 3 शेष 0) |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो | 245 (अंतिम अंक 5) |
| 7 | अंतिम अंक x 2 घटाने पर फल 7 का गुणज हो | 203 -> (20 - 3x2)=20 - 6=14; 14 / 7 शेष 0 |
| 11 | वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो | 121 -> (1+1)-2=0 |
| 13 | अंतिम अंक x 9 घटाने पर फल 13 का गुणज हो | 273 -> (27 - 3x9)=27 - 27=0 |
किसी संख्या के विभाजित होने की पुष्टि करने के लिए हम भाग फलों का उपयोग करते हैं। किसी संख्या के प्रत्येक अंग में दिए गए नियमों का पालन करने पर भाग फलों और शेष का उपयोग करके वास्तविक ज्ञान प्राप्त होता है। यह विषय आगे के अध्यायों में HCF और LCM की समझ में भी सहायक होगा।
चरण 1: आखिरी अंक देखें: 2312 का अंतिम अंक 2 है, जो 2 से विभाजित होता है। अतः, 2312 संख्या 2 से विभाजित है।
चरण 2: अंकों का योग करें: 2 + 3 + 1 + 2 = 8। अब देखें क्या 8, 3 से विभाजित है? 8 / 3 का शेष 2 आता है, अतः 2312 3 से विभाजित नहीं है।
उत्तर: 2312 केवल 2 से विभाजित है, 3 से नहीं।
चरण 1: वैकल्पिक अंकों का योग करें:
अंकों को क्रमशः: 1, 4, 3 लेना है। वैकल्पिक योग: (1 + 3) = 4 तथा बचे हुए अंक का योग: 4।
चरण 2: योगों का अंतर निकालें: 4 - 4 = 0।
0, 11 का गुणज है अर्थात 143 संख्या 11 से विभाजित है।
उत्तर: 143 संख्या 11 से पूर्णतः विभाजित है।
चरण 1: 5 से विभाज्यता: अंतिम अंक 5 है, अतः 25675 5 से विभाजित है।
चरण 2: 7 से विभाज्यता: अंतिम अंक को 2 से गुणा करें -> 5 x 2 = 10। बाकी अंक: 2567।
अब घटाएँ: 2567 - 10 = 2557।
फिर से अंतिम अंक गुणा करें: 7 x 2 = 14, बाकी अंक: 255।
255 - 14 = 241। 241 / 7 से विभाजित नहीं होता क्योंकि 7 x 34=238 शेष 3। अतः 25675 संख्या 7 से विभाजित नहीं है।
उत्तर: 25675 केवल 5 से विभाजित है, 7 से नहीं।
चरण 1: संख्याओं को अभाज्य गुणकों में विभाजित करें।
84 के अभाज्य गुणक: 2 x 2 x 3 x 7
126 के अभाज्य गुणक: 2 x 3 x 3 x 7
चरण 2: सामान्य अभाज्य गुणकों को देखें जो दोनों में हों।
समान गुणक: 2, 3, 7
अर्थात, HCF = 2 x 3 x 7 = 42
उत्तर: 84 और 126 का HCF = 42 है।
चरण 1: 15 और 20 के अभाज्य गुणक:
15 = 3 x 5
20 = 2 x 2 x 5
चरण 2: HCF ज्ञात करें: समान गुणक 5
HCF = 5
चरण 3: LCM ज्ञात करें: सभी अभाज्य गुणकों का गुणा लें किन्तु एक बार
LCM = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
चरण 4: सत्यापन: \( \text{LCM} \times \text{HCF} = 15 \times 20 \)
60 x 5 = 300 और 15 x 20 = 300
दोनों बराबर हैं, अतः सही परिणाम।
उत्तर: LCM = 60 तथा HCF = 5।
When to use: बड़ी संख्याओं की 7 से विभाज्यता जांच करते समय।
When to use: 11 से विभाज्यता के त्वरित परीक्षण के लिए।
When to use: 3 और 9 से विभाज्यता जल्दी जांचने हेतु।
When to use: किसी भी प्राकृतिक संख्या की 5 से विभाज्यता जांचते समय।
When to use: HCF और LCM के मूल्यों की सुनिश्चितता हेतु।
Progress tracking is paywalled — subscribe to mark subtopics as understood and save your streak.
Go to practice →
Your Score
Your Rank
| Rank | Name | Score |
|---|
