LCM एवं HCF

LCM एवं HCF: प्रारंभिक समझ और परिचय

संख्या प्रणाली (Number System) के अधीन LCM (Least Common Multiple - लघुत्तम समापवर्तक) और HCF (Highest Common Factor - महत्तम समापवर्तक) दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। ये दोनों संख्याओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं और अनेक अंकगणितीय समस्याओं का मूल आधार होती हैं।

इनका ज्ञान संपूर्ण अंकगणितीय अभ्यास के लिए आवश्यक है, विशेषतः प्रतिस्पर्धात्मक परीक्षाओं में जहाँ तीव्र और सटीक गणना अपेक्षित होती है। इस खंड में हम पूर्ण रूप से इन्हें विस्तार से समझेंगे, शैक्षणिक दृष्टि से क्रमवार और उदाहरण सहित।

HCF (महत्तम समापवर्तक)

HCF किसी भी दो या दो से अधिक संख्याओं का वह सबसे बड़ा धनात्मक भाजक (factor) होता है जो सभी संख्याओं को समान रूप से विभाजित कर सके।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 12 और 18 लें। दोनों को समान रूप से विभाजित करने वाले भाजक हैं: 1, 2, 3, 6। इनमें सबसे बड़ा 6 है। अतः, 12 और 18 का HCF 6 है।

आरेख में दो वृत्त क्रमशः 12 और 18 के गुणकों के समूह दर्शाते हैं, उनका संयुक्त भाग ही HCF है।

LCM (लघुत्तम समापवर्तक)

LCM दो या दो से अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा धनात्मक बहुगुणक (multiple) होता है जो उन सब संख्याओं का गुणक हो।

मसलन, 12 और 18 के बहुगुणक क्रम: 12 के लिए (12, 24, 36, 48, 60, 72...), 18 के लिए (18, 36, 54, 72...)। सबसे छोटा समान बहुगुणक 36 है, अतः LCM = 36।

यहां LCM दर्शाने हेतु गुणनखंडों के सम्मिलन तथा उनके संयुक्त गुणनखंडों को चित्रित किया गया है।

गुणनखंड (Factorization) से HCF एवं LCM की गणना

संख्याओं के गुणनखंड (Factorization) से HCF एवं LCM की गणना अत्यंत सुव्यवस्थित एवं सरल हो जाती है। गुणनखंड विधि में संख्याओं को उनके प्रधान (prime) गुणकों में विभाजित किया जाता है।

उदाहरण स्वरूप, यदि 12 और 18 को प्रधान गुणकों में विभाजित करें:

12 = 2² x 3¹
18 = 2¹ x 3²

तब,

HCF = 2^min(2,1) x 3^min(1,2) = 2¹ x 3¹ = 6
LCM = 2^max(2,1) x 3^max(1,2) = 2² x 3² = 36

HCF की गणना का सूत्र

\[HCF = \prod p_i^{\min(e_i, f_i)}\]

संख्याओं के प्रत्येक प्रधान गुणक का न्यूनतम घात लें और उनका गुणा करें।

\(p_i\) = प्रधान गुणक

\(e_i, f_i\) = प्रत्येक संख्या में उस गुणक का घात

LCM की गणना का सूत्र

\[LCM = \prod p_i^{\max(e_i, f_i)}\]

संख्याओं के प्रत्येक प्रधान गुणक का अधिकतम घात लें और उनका गुणा करें।

\(p_i\) = प्रधान गुणक

\(e_i, f_i\) = प्रत्येक संख्या में उस गुणक का घात

HCF एवं LCM का प्रमाणित सम्बन्ध

दो संख्याओं के HCF एवं LCM के बीच एक महत्वपूर्ण सम्बन्ध होता है, जो इस प्रकार है:

\( HCF(a,b) \times LCM(a,b) = a \times b \)

यह समीकरण सटीक क्यों है? क्योंकि HCF संख्याओं के साझा नीचे के घात हैं, और LCM साझा ऊपर के घात, जब इन्हें गुणा करते हैं तो अन्त में मूल संख्याओं का गुणन वापस मिलता है।

संख्या a	संख्या b	HCF(a,b)	LCM(a,b)	HCF x LCM	a x b
12	18	6	36	6 x 36 = 216	12 x 18 = 216
36	60	12	180	12 x 180 = 2160	36 x 60 = 2160

WORKED EXAMPLES

Example 1: 12 एवं 18 का HCF एवं LCM ज्ञात करना Easy

संख्याएँ 12 और 18 दी गई हैं, उनका HCF एवं LCM निर्धारित करें।

Step 1: गुणनखंड करें:

12 = 2² x 3, 18 = 2 x 3²

Step 2: HCF निकालें: न्यूनतम घात लें

HCF = 2^min(2,1) x 3^min(1,2) = 2 x 3 = 6

Step 3: LCM निकालें: अधिकतम घात लें

LCM = 2² x 3² = 4 x 9 = 36

Answer: HCF = 6, LCM = 36

Example 2: 36 एवं 60 के लिए HCF एवं LCM की गणना गुणनखंड विधि से करें Medium

संख्याएँ 36 और 60 दी गई हैं, गुणनखंड करके HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

Step 1: 36 और 60 के प्रधान गुणनखंड लिखें।

36 = 2² x 3²

60 = 2² x 3 x 5

Step 2: HCF निकालें: न्यूनतम घात के आधार पर

HCF = 2² x 3¹ = 4 x 3 = 12

Step 3: LCM निकालें: अधिकतम घात के आधार पर

LCM = 2² x 3² x 5 = 4 x 9 x 5 = 180

Answer: HCF = 12, LCM = 180

Example 3: दो संख्याओं का HCF 15 और LCM 180 है, संख्याएँ ज्ञात कीजिए। Hard

दो संख्याओं के HCF 15 एवं LCM 180 हैं। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि एक संख्या दूसरी का 3 गुना है।

Step 1: मान लें संख्याएँ x और 3x हैं।

Step 2: HCF और LCM का गुणा दो संख्याओं के गुणन के बराबर होता है:

HCF x LCM = x x 3x = 3x²

15 x 180 = 2700

तो, 3x² = 2700 => x² = 900 => x = 30

Step 3: संख्याएँ हैं 30 और 90।

Answer: संख्याएँ 30 एवं 90 हैं।

Example 4: परीक्षात्मक प्रश्न - 20 और 50 का HCF एवं LCM ज्ञात करें Easy

20 और 50 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

Step 1: दोनों संख्याओं का विभाजन कर prime factors निकालें।

20 = 2² x 5

50 = 2 x 5²

Step 2: HCF = 2^min(2,1) x 5^min(1,2) = 2 x 5 = 10

Step 3: LCM = 2^max(2,1) x 5^max(1,2) = 4 x 25 = 100

Answer: HCF = 10, LCM = 100

Example 5: परीक्षात्मक प्रश्न - 45 और 120 का HCF एवं LCM ज्ञात करें Medium

45 और 120 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

Step 1: संख्याओं का गुणनखंड करें।

45 = 3² x 5

120 = 2³ x 3 x 5

Step 2: HCF = 2^min(0,3) x 3^min(2,1) x 5^min(1,1) = 3¹ x 5 = 15

Step 3: LCM = 2^max(0,3) x 3^max(2,1) x 5^max(1,1) = 2³ x 3² x 5 = 8 x 9 x 5 = 360

Answer: HCF = 15, LCM = 360

Tips & Tricks

Tip: HCF निकालते समय हमेशा संख्याओं के छोटे से बड़े तक गुणनखंड का ध्यान रखें।

When to use: जब संख्याएँ अपना HCF तेजी से ज्ञात करना हो।

Tip: दो संख्याओं का गुणा HCF और LCM के गुणा के बराबर होता है, इसे हमेशा याद रखें।

When to use: जटिल प्रश्नों में, HCF या LCM में से किसी एक जानकर दूसरी निकालनी हो।

Tip: अगर एक संख्या दूसरी का गुणनखंड है तो HCF वह छोटी संख्या है और LCM बड़ी संख्या।

When to use: ऐसी प्रश्न स्थितियों में तुरन्त उत्तर ज्ञात करने के लिए।

Tip: प्राइम फैक्टराइजेशन के दौरान बार-बार दशमलव या भिन्न संख्याएँ न लें, केवल पूर्ण संख्याओं पर ध्यान दें।

When to use: जब इकाई संख्याओं का HCF/LCM निकालना हो।

Tip: LCM निकालते समय, सभी प्राइम फैक्टर्स के उच्चतम घात का गुणा करें।

When to use: जब दो या अधिक संख्याओं के बीच लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करना हो।

Common Mistakes to Avoid

❌ HCF निकालते समय सभी साझा भाजकों को जोड़ देना।

✓ HCF निकालने के लिए प्रदर्शन करना चाहिए कि सभी साझा भाजकों का गुणा करें, जोड़ नहीं।

Why: HCF किसी संख्या का गुणक होता है, इसलिए भाजकों का जोड़ ग़लत परिणाम देगा।

❌ LCM को केवल सभी संख्याओं को जोड़कर मान लेना।

✓ LCM वह सबसे छोटा सामान्य गुणक होता है, इसलिए संख्याओं के गुणा विभाजन करना आवश्यक है न कि केवल जोड़।

Why: LCM संख्या के गुणन से संबंधित है, जोड़ना गलत परिणाम उत्पन्न करता है।

❌ HCF और LCM की गणना करते समय गुणनखंडों की तुलना सही से न करना।

✓ प्राइम फैक्टराइजेशन के समय प्रत्येक गुणक के घातों का स्पष्ट अवलोकन कर न्यूनतम (HCF) तथा अधिकतम (LCM) लेना चाहिए।

Why: यदि घातों की तुलना सही न हो तो HCF और LCM गलत निकलेंगे।

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