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दो या दो से अधिक पूर्णांकों (integers) का लघुत्तम समापवर्तक (Least Common Multiple, LCM) उस सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक को कहते हैं जो उन सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाता है। सरल शब्दों में, यह वह सबसे छोटी संख्या है जिसे सभी दिए हुए संख्याएँ बिना शेष के विभाजन कर सकें।
उदाहरणार्थ, यदि संख्याएँ 4 एवं 6 हैं, तो उनके गुणनखंड (multiples) इस प्रकार हैं:
दोनों का साझा सबसे छोटा गुणनखंड 12 है, अतः LCM(4,6) = 12।
दो या दो से अधिक पूर्णांकों का महत्तम समभाग (Highest Common Factor, HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो उन सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करता हो। इसे महत्तम समविभाजक (Greatest Common Divisor, GCD) भी कहते हैं।
उदाहरण के लिए, 12 और 18 के भाजक निम्नांकित हैं:
इन दोनों का साझा सबसे बड़ा भाजक 6 है, अतः HCF(12,18) = 6।
LCM एवं HCF के संबंधों और निकालने के तरीकों की समझ संख्या प्रणाली के लिए अत्यंत आवश्यक है। ये अवधारणाएँ विभाज्यता (Divisibility) के नियमों, प्राइम फैक्टराइजेशन एवं संख्यात्मक संरचनाओं पर आधारित हैं, जो आगे आने वाले विषयों जैसे कि पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ तथा वास्तविक संख्याओं की समझ का आधार हैं।
यह सबसे सरल विधि है, जिसमें संबंधित संख्याओं के गुणनखंड या भाजकों को क्रम से लिखकर LCM या HCF ज्ञात किया जाता है। छोटे संख्याओं के लिए यह विधि सुविधाजनक होती है, लेकिन बड़ी संख्याओं के लिए समय-खपत अधिक होती है।
इस विधि में संख्याओं को उनके अभाज्य गुणकों (prime factors) में तोड़ा जाता है।
यह विधि बड़ी संख्याओं के लिए अधिक उपयोगी एवं त्वरित होती है।
इस विधि में Euclid के एल्गोरिदम का प्रयोग करके HCF निकाला जाता है, जो LCM के लिए आधार प्रदान करता है। इसका मुख्य विचार दो संख्याओं का HCF उनके शेषफल (remainder) को क्रमशः घटाते हुए मिलाना है।
लघुत्तम या महत्तम साझा संख्याएँ गुणक सूची से खोजें
प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणकों में विभाजित करें
शेषफल की सहायता से HCF ज्ञात करें
दो पूर्णांकों a और b के लिए निम्न संबंध सदैव सत्य होता है:
यह सूत्र हमें LCM और HCF के बीच सीधा संबंध प्रदान करता है। यदि a और b दोनों संख्याएँ ज्ञात हों और किसी एक के मान से हमें दूसरे का मूल्य निकालना हो, तो यह सूत्र बेहद कारगर साबित होता है।
Euclid का तरीका दो संख्याओं का HCF निकालने के लिए सबसे प्रभावी प्रणाली है। इसका मुख्य नियम निम्न है:
जहाँ a तथा b दो पूर्णांक हैं; \( a \bmod b \) का अर्थ है a को b से भाग देने पर शेषफल। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक शेषफल शून्य न हो। अंतिम गैर-शून्य भाग HCF होगा।
कल्पना करें दो व्यक्ति अलग-अलग अंतराल पर किसी कार्यक्रम में भाग लेते हैं: पहला व्यक्ति हर 4 दिन में और दूसरा हर 6 दिन में। दोनों का अगला सामान्य कार्यक्रम कब होगा? यह पहली संख्या का LCM होगा।
कभी-कभी LCM एवं HCF दोनों की जानकारियाँ प्रश्नों के अलग-अलग भागों में दी जाती हैं। इन मानों के गुणनखंड सूत्र के उपयोग से छुपे हुए मान आसानी से खोजे जा सकते हैं।
समय सारिणी, आवर्ती घटनाओं का निर्धारण, भिन्नों के हर का समान करना, या तकनीकी संगणना जैसे अनेक कार्यों में LCM एवं HCF का उपयोग होता है। इसी कारण इनका परिचय प्रारंभिक स्तर पर ही आवश्यक है।
विभाज्यता नियमों से हमें यह पता चलता है कि कौन-कौन सी संख्यायें किसी संख्या को पूर्णतः विभाजित कर सकती हैं। HCF निकालते समय यह परीक्षण महत्वपूर्ण होता है।
LCM एवं HCF की अवधारणा पूर्णांकों पर लागू होती है, परंतु इनका प्रभाव परिमेय (rational) संख्याओं के हरों (fractions) को समान हर में लाने में भी पड़ता है। इस प्रकार यह विषय संख्या प्रणाली के अन्य उपविषयों से जुड़ा हुआ है, जिनका अध्ययन इसी अध्याय में किया जाएगा।
Step 1: 8 के भाजक: 1, 2, 4, 8
12 के भाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Step 2: साझा भाजक: 1, 2, 4
सबसे बड़ा साझा भाजक (HCF) = 4
Step 3: गुणनखंड सूची बनाएं -
8 के गुणनखंड: 8, 16, 24, 32, ...
12 के गुणनखंड: 12, 24, 36, 48, ...
सबसे छोटा साझा गुणनखंड (LCM) = 24
Answer: LCM = 24, HCF = 4
Step 1: \(48 \bmod 18 = 48 - 2 \times 18 = 48 - 36 = 12\)
Step 2: अब HCF(48,18) = HCF(18,12)
Step 3: \(18 \bmod 12 = 18 - 1 \times 12 = 6\)
Step 4: अब HCF(18,12) = HCF(12,6)
Step 5: \(12 \bmod 6 = 0\), अतः HCF(12,6) = 6
Answer: HCF = 6
Step 1: सूत्र: \(LCM \times HCF = a \times b\)
प्रथम संख्या (a) = 32, HCF = 8, LCM = 240
Step 2: दूसरी संख्या (b) निकालें:
\( 240 \times 8 = 32 \times b \Rightarrow 1920 = 32 \times b \Rightarrow b = \frac{1920}{32} = 60 \)
Answer: दूसरी संख्या = 60
Step 1: मान लें दूसरी संख्या b है।
सभी संख्याओं का HCF = 5 है। अतः तीनों संख्याओं को 5 से भाग देकर नए संख्याएँ लें:
पहली: \(\frac{20}{5} = 4\), दूसरी: \(\frac{b}{5}\), तीसरी: \(\frac{35}{5} = 7\)
Step 2: इन्होंने का LCM (LCM of 4, b/5, 7) = \(\frac{420}{5} = 84\)
Step 3: LCM(4, \(\frac{b}{5}\), 7) = 84
4 और 7 के LCM = 28
तो, LCM(28, \(\frac{b}{5}\)) = 84
Step 4: 84 को 28 से भाग दें:
\( \frac{84}{28} = 3 \)
इसलिए \(\frac{b}{5} = 3\) या \(b = 15\)
Answer: दूसरी संख्या = 15
Step 1: प्रत्येक संख्या का प्राइम फैक्टराइजेशन करें:
Step 2: HCF निकालने के लिए, सभी में सामान्य न्यूनतम गणितीय घात लें:
सभी में केवल \(2\) है। न्यूनतम घात = \(2^2\)
तो, HCF = \(2^2 = 4\)
Step 3: LCM के लिए, सभी में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य तत्व का उच्चतम घात लें:
\(2^4, 3^1, 5^1\)
तो, LCM = \(2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 3 \times 5 = 240\)
Answer: HCF = 4, LCM = 240
When to use: जब संख्याएँ बड़ी हों या गुणनखंड सूची बनाना जटिल हो।
When to use: जब HCF जल्दी निकालना हो दो अथवा अधिक बड़ी संख्या के बीच।
When to use: जब दो मान ज्ञात हों और तीसरे का पता लगाना हो।
When to use: जब हल समयबद्धता में करना हो।
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