Login
OR
Don't worry. We'll fix this for you!
संख्याएँ (Numbers) गणित की मूलभूत अवधारणाएँ हैं जिनका उपयोग मापन, गणना एवं तर्क के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) संख्याओं का वह समुच्चय है जिसमें सभी परिमेय (Rational) और अपरिमेय (Irrational) संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। वास्तविक संख्याएँ विस्तृत संख्या प्रणाली का महत्वपूर्ण हिस्सा हैं जो गणित व भौतिक विज्ञान की अनेक शाखाओं में प्रयुक्त होती हैं।
संख्या प्रणाली विभिन्न प्रकार की संख्याओं का समावेश करके गणितीय क्रियाओं को व्यवस्थित रूप देती है। प्रारंभ में हमने प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers) देखी, जो 1, 2, 3, ... तक जाती हैं। पूर्णांक (Integers) में यह 0 और ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं।
परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जो परिमेय रूप से व्यक्त नहीं की जा सकतीं, जैसे \(\sqrt{2}\) या \(\pi\) ।
वास्तविक संख्याएँ दो मुख्य भागों में विभक्त होती हैं:
| संख्या प्रकार | परिभाषा | उदाहरण |
|---|---|---|
| परिमेय संख्याएँ | दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त | \(\frac{3}{4}, \; 0.75, \; -2, \; 5 \) |
| अपरिमेय संख्याएँ | भिन्न रूप में व्यक्त न हो सकने वाली | \(\sqrt{2}, \; \pi, \; e\) |
वास्तविक संख्याओं के लिए निम्नलिखित गुण आवश्यक हैं जो उनकी गणितीय संरचना को परिभाषित करते हैं:
संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं की स्थिति (Location on Number Line)
परिभाषा एवं उदाहरण: परिमेय संख्याएँ सरल भिन्न के रूप में व्यक्त होती हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएँ अंकगणितीय अथवा बीजीय दशमलव के रूप में अनंत और अनियमित दशमलव विस्तार होती हैं।
संस्करणीयता (Representability): अधिकांश वास्तविक संख्याएँ दशमलव रूप में आसानी से प्रदर्शित की जा सकती हैं; परंतु अपरिमेय संख्याओं का दशमलव रूप अनुपूरक और अनियमित होता है।
दशमलव रूप: परिमेय संख्याएँ या तो सीमित दशमलव विस्तार वाली होती हैं या आवर्त दशमलव रूप में निरूपित होती हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएँ अंतहीन, आवर्ती रहित दशमलव होती हैं।
वास्तविक संख्याओं के गुण, वर्गमूल, घनमूल, तथा तुलनात्मक प्रक्रियाओं का अभ्यास प्रश्नों के माध्यम से किया जाता है। यह अवधारणा प्रतियोगी परीक्षाओं में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।
चरण 1: विभाजन करें: 3 को 4 द्वारा विभाजित करें।
चरण 2: 4 के अंतर्गत 3 जाते समय दशमलव बनाकर 3.000 ... लें।
चरण 3: भागफल 0.75 आता है क्योंकि \(4 \times 0.75 = 3\)।
उत्तर: \(\frac{3}{4} = 0.75\)
चरण 1: मान लें कि \(\sqrt{3} = \frac{p}{q}\) (जहाँ \(p, q\) पूर्णांक और अपेक्षित रूप में सरल) है।
चरण 2: दोनों पक्षों का वर्ग करें: \(3 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 3q^2\)।
चरण 3: इससे \(p^2\) 3 का गुणज है, अतः \(p\) भी 3 का गुणज होगा (पूर्णांक गुणज का नियम)।
चरण 4: इसलिए, \(p=3k\) मान लेते हैं, जहाँ \(k\) पूर्णांक है।
चरण 5: \(p^2 = 9k^2 = 3q^2 \Rightarrow q^2 = 3k^2\), अतः \(q\) भी 3 का गुणज होगा।
चरण 6: इसका अर्थ है कि \(p\) और \(q\) दोनों में 3 का कारक होगा, जो विरोधाभास है क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को अपेक्षित रूपान्तर में माना गया।
निष्कर्ष: इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय संख्या है।
चरण 1: \(\sqrt{2} \approx 1.414\) मानते हैं।
चरण 2: गुणा: \(2.5 \times 1.414 = 3.535\) लगभग।
चरण 3: संख्या रेखा पर \(3.535\) पॉइंट, \(3\) और \(4\) के बीच स्थित है।
उत्तर: \(3.535\) वास्तविक संख्याओं का गुणनफल है।
चरण 1: संख्याओं के मान पर ध्यान दें: \(-2 < 0.5 < \sqrt{2}\ (लगभग 1.414)\)।
चरण 2: संख्यात्मक क्रम: \(-2\), \(0.5\), \(\sqrt{2}\)
उत्तर: संख्या रेखा पर क्रमानुसार < -2 | 0.5 | \(\sqrt{2}\) >
चरण 1: घनमूल की परिभाषा के अनुसार, \(\sqrt[3]{a} = b\) जहाँ \(b^3 = a\)।
चरण 2: \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)।
उत्तर: अतः \(\sqrt[3]{27} = 3\) सत्य है।
कब उपयोग करें: परिमेय भिन्नों को दशमलव में तेज़ी से रूपांतरित करने हेतु।
कब उपयोग करें: जब संख्या की सटीक गणना संभव न हो, तब अनुमानों से हल करना हो।
कब उपयोग करें: संख्या रेखा आधारित प्रश्न हल करते समय।
कब उपयोग करें: विभाज्यता और संख्या वर्गीकरण के प्रश्नों में।
कब उपयोग करें: परीक्षा में गलत विकल्पों को छोड़ने हेतु।
Progress tracking is paywalled — subscribe to mark subtopics as understood and save your streak.
Go to practice →
Your Score
Your Rank
| Rank | Name | Score |
|---|
